Theorem proot1hash 44337

Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1hash.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1hash	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		proot1hash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odf 19763	. . . . 5 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4		ffn 6717	. . . . 5 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5		fniniseg2 7069	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
8		fniniseg 7067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
9	3, 4, 8	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
10	7, 9	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
11	10	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
12	11	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋) ↔ (𝑂‘𝑥) = 𝑁))
13	12	rabbidv 3422	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
14		isidom 20988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
15	14	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17		domnring 20971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19		proot1hash.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
20	18, 19	unitgrp 20625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 17, 20	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
22	1	subgacs 19383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23		acsmre 17838	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
26	25	mrcssv 17800	. . . . . 6 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27		dfrab3ss 4270	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
28	24, 26, 27	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
29		incom 4108	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
33		simpl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
34	19, 2, 25	proot1mul 44336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
35	30, 31, 32, 33, 34	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
36	35	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
37	36	ssrdv 3918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
38	6, 37	eqsstrrid 3951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39		dfss2 4096	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
41	29, 40	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
42	13, 28, 41	3eqtrrd 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
43	6, 42	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
44	43	fveq2d 6897	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}))
45	10	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	11, 46	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
48	1, 2, 25	odngen 19803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
49	21, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
50	11	fveq2d 6897	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂‘𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
51	44, 49, 50	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091  {csn 4587  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ♯chash 14484  ϕcphi 16953  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  Moorecmre 17764  mrClscmrc 17765  ACScacs 17767  Grpcgrp 19156  SubGrpcsubg 19342  odcod 19750  mulGrpcmgp 20372  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472  Unitcui 20597  Domncdomn 20956  IDomncidom 20957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-phi 16955  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-eqg 19347  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-od 19754  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-srg 20425  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-rhm 20714  df-nzr 20775  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-rlreg 20958  df-domn 20959  df-idom 20960  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-cnfld 21691  df-assa 22173  df-asp 22174  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-evls 22395  df-evl 22396  df-psr1 22510  df-vr1 22511  df-ply1 22512  df-coe1 22513  df-evl1 22646  df-mdeg 26385  df-deg1 26386  df-mon1 26461  df-uc1p 26462  df-q1p 26463  df-r1p 26464

This theorem is used by: (None)