Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1hash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem proot1hash 41928
Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (Ο•β€˜π‘) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1hash.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
proot1hash.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
proot1hash ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (β™―β€˜(◑𝑂 β€œ {𝑁})) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem proot1hash
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 proot1hash.o . . . . . 6 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
31, 2odf 19400 . . . . 5 𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0
4 ffn 6715 . . . . 5 (𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0 β†’ 𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ))
5 fniniseg2 7061 . . . . 5 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁})
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 (◑𝑂 β€œ {𝑁}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁}
7 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))
8 fniniseg 7059 . . . . . . . . . 10 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁)))
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁))
107, 9sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁))
1110simprd 497 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁)
1211eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁))
1312rabbidv 3441 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)} = {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁})
14 isidom 20915 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1514simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ Domn)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
17 domnring 20905 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
19 proot1hash.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
2018, 19unitgrp 20190 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2116, 17, 203syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
221subgacs 19036 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
23 acsmre 17593 . . . . . . 7 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
2625mrcssv 17555 . . . . . 6 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
27 dfrab3ss 4312 . . . . . 6 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) β†’ {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} = (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∩ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁}))
2824, 26, 273syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} = (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∩ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁}))
29 incom 4201 . . . . . 6 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∩ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁}) = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}))
30 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
31 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))
33 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))
3419, 2, 25proot1mul 41927 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}))
3530, 31, 32, 33, 34syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}))
3635ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) β†’ π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋})))
3736ssrdv 3988 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}))
386, 37eqsstrrid 4031 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}))
39 df-ss 3965 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ↔ ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋})) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁})
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋})) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁})
4129, 40eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∩ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁})
4213, 28, 413eqtrrd 2778 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = 𝑁} = {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)})
436, 42eqtrid 2785 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) = {π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)})
4443fveq2d 6893 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (β™―β€˜(◑𝑂 β€œ {𝑁})) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)}))
4510simpld 496 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
46 simp2 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4711, 46eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ β„•)
481, 2, 25odngen 19440 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)}) = (Ο•β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)))
4921, 45, 47, 48syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜{𝑋}) ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘‚β€˜π‘‹)}) = (Ο•β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)))
5011fveq2d 6893 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (Ο•β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) = (Ο•β€˜π‘))
5144, 49, 503eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁})) β†’ (β™―β€˜(◑𝑂 β€œ {𝑁})) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β™―chash 14287  Ο•cphi 16694  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  Moorecmre 17523  mrClscmrc 17524  ACScacs 17526  Grpcgrp 18816  SubGrpcsubg 18995  odcod 19387  mulGrpcmgp 19982  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051  Unitcui 20162  Domncdomn 20889  IDomncidom 20890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-phi 16696  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-eqg 19000  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-od 19391  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-rlreg 20892  df-domn 20893  df-idom 20894  df-cnfld 20938  df-assa 21400  df-asp 21401  df-ascl 21402  df-psr 21454  df-mvr 21455  df-mpl 21456  df-opsr 21458  df-evls 21627  df-evl 21628  df-psr1 21696  df-vr1 21697  df-ply1 21698  df-coe1 21699  df-evl1 21827  df-mdeg 25562  df-deg1 25563  df-mon1 25640  df-uc1p 25641  df-q1p 25642  df-r1p 25643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator