Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1hash 39678
Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1hash.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
proot1hash ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 proot1hash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odf 18594 . . . . 5 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4 ffn 6507 . . . . 5 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5 fniniseg2 6824 . . . . 5 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}
7 simp3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
8 fniniseg 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
107, 9sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
1110simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
1211eqeq2d 2829 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝑋) ↔ (𝑂𝑥) = 𝑁))
1312rabbidv 3478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
14 isidom 20005 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1514simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16153ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17 domnring 19997 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19 proot1hash.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
2018, 19unitgrp 19346 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2116, 17, 203syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
221subgacs 18251 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23 acsmre 16911 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25 eqid 2818 . . . . . . 7 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2625mrcssv 16873 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27 dfrab3ss 4278 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
2824, 26, 273syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
29 incom 4175 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30 simpl1 1183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31 simpl2 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
33 simpl3 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
3419, 2, 25proot1mul 39677 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3530, 31, 32, 33, 34syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3635ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
3736ssrdv 3970 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
386, 37eqsstrrid 4013 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39 df-ss 3949 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4038, 39sylib 219 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4129, 40syl5eq 2865 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4213, 28, 413eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
436, 42syl5eq 2865 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
4443fveq2d 6667 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}))
4510simpld 495 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46 simp2 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
4711, 46eqeltrd 2910 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
481, 2, 25odngen 18631 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
4921, 45, 47, 48syl3anc 1363 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
5011fveq2d 6667 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
5144, 49, 503eqtrd 2857 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  cin 3932  wss 3933  {csn 4557  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cn 11626  0cn0 11885  chash 13678  ϕcphi 16089  Basecbs 16471  s cress 16472  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842  ACScacs 16844  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  odcod 18581  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  Unitcui 19318  Domncdomn 19981  IDomncidom 19982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-phi 16091  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-od 18585  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-nzr 19959  df-rlreg 19984  df-domn 19985  df-idom 19986  df-assa 20013  df-asp 20014  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-evls 20214  df-evl 20215  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-coe1 20279  df-evl1 20407  df-cnfld 20474  df-mdeg 24576  df-deg1 24577  df-mon1 24651  df-uc1p 24652  df-q1p 24653  df-r1p 24654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator