Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1hash 39304
Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1hash.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
proot1hash ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 proot1hash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odf 18396 . . . . 5 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4 ffn 6382 . . . . 5 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5 fniniseg2 6697 . . . . 5 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}
7 simp3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
8 fniniseg 6695 . . . . . . . . . 10 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
107, 9sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
1110simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
1211eqeq2d 2805 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝑋) ↔ (𝑂𝑥) = 𝑁))
1312rabbidv 3425 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
14 isidom 19766 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1514simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16153ad2ant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17 domnring 19758 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19 proot1hash.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
2018, 19unitgrp 19107 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2116, 17, 203syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
221subgacs 18068 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23 acsmre 16752 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25 eqid 2795 . . . . . . 7 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2625mrcssv 16714 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27 dfrab3ss 4201 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
2824, 26, 273syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
29 incom 4099 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30 simpl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31 simpl2 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
33 simpl3 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
3419, 2, 25proot1mul 39303 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3530, 31, 32, 33, 34syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3635ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
3736ssrdv 3895 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
386, 37eqsstrrid 3937 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39 df-ss 3874 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4038, 39sylib 219 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4129, 40syl5eq 2843 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4213, 28, 413eqtrrd 2836 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
436, 42syl5eq 2843 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
4443fveq2d 6542 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}))
4510simpld 495 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46 simp2 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
4711, 46eqeltrd 2883 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
481, 2, 25odngen 18432 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
4921, 45, 47, 48syl3anc 1364 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
5011fveq2d 6542 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
5144, 49, 503eqtrd 2835 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  cin 3858  wss 3859  {csn 4472  ccnv 5442  cima 5446   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cn 11486  0cn0 11745  chash 13540  ϕcphi 15930  Basecbs 16312  s cress 16313  Moorecmre 16682  mrClscmrc 16683  ACScacs 16685  Grpcgrp 17861  SubGrpcsubg 18027  odcod 18383  mulGrpcmgp 18929  Ringcrg 18987  CRingccrg 18988  Unitcui 19079  Domncdomn 19742  IDomncidom 19743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-ec 8141  df-qs 8145  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-phi 15932  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-eqg 18032  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-od 18387  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-srg 18946  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-nzr 19720  df-rlreg 19745  df-domn 19746  df-idom 19747  df-assa 19774  df-asp 19775  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-evls 19973  df-evl 19974  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-evl1 20162  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333  df-mon1 24407  df-uc1p 24408  df-q1p 24409  df-r1p 24410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator