Theorem proot1hash 43207

Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1hash.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1hash	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		proot1hash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odf 19555	. . . . 5 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5		fniniseg2 7082	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}
7		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
8		fniniseg 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
9	3, 4, 8	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
11	10	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
12	11	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋) ↔ (𝑂‘𝑥) = 𝑁))
13	12	rabbidv 3444	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
14		isidom 20725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
15	14	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17		domnring 20707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19		proot1hash.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
20	18, 19	unitgrp 20383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 17, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
22	1	subgacs 19179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23		acsmre 17695	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
26	25	mrcssv 17657	. . . . . 6 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27		dfrab3ss 4323	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
28	24, 26, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
29		incom 4209	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
33		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
34	19, 2, 25	proot1mul 43206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
35	30, 31, 32, 33, 34	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
36	35	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
37	36	ssrdv 3989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
38	6, 37	eqsstrrid 4023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39		dfss2 3969	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
40	38, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
41	29, 40	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
42	13, 28, 41	3eqtrrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
43	6, 42	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
44	43	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}))
45	10	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	11, 46	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
48	1, 2, 25	odngen 19595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
49	21, 45, 47, 48	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
50	11	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂‘𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
51	44, 49, 50	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  ϕcphi 16801  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  odcod 19542  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Unitcui 20355  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-cnfld 21365  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173

This theorem is referenced by: (None)