Theorem proot1hash 40552

Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1hash.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1hash	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		proot1hash.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odf 18745	. . . . 5 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4		ffn 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5		fniniseg2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}
7		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
8		fniniseg 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
9	3, 4, 8	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
10	7, 9	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
11	10	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
12	11	eqeq2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋) ↔ (𝑂‘𝑥) = 𝑁))
13	12	rabbidv 3392	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
14		isidom 20158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
15	14	simprbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17		domnring 20150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19		proot1hash.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
20	18, 19	unitgrp 19501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 17, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
22	1	subgacs 18393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23		acsmre 16994	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
26	25	mrcssv 16956	. . . . . 6 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27		dfrab3ss 4217	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
28	24, 26, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}))
29		incom 4108	. . . . . 6 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30		simpl1 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31		simpl2 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
33		simpl3 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
34	19, 2, 25	proot1mul 40551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
35	30, 31, 32, 33, 34	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
36	35	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
37	36	ssrdv 3900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
38	6, 37	eqsstrrid 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39		df-ss 3877	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
41	29, 40	syl5eq 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁})
42	13, 28, 41	3eqtrrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂‘𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
43	6, 42	syl5eq 2805	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (◡𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)})
44	43	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}))
45	10	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	11, 46	eqeltrd 2852	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
48	1, 2, 25	odngen 18782	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
49	21, 45, 47, 48	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝑋)))
50	11	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂‘𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
51	44, 49, 50	3eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(◡𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ^◡ccnv 5527   “ cima 5531   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  ♯chash 13753  ϕcphi 16169  Basecbs 16554   ↾_s cress 16555  Moorecmre 16924  mrClscmrc 16925  ACScacs 16927  Grpcgrp 18182  SubGrpcsubg 18353  odcod 18732  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379  Unitcui 19473  Domncdomn 20134  IDomncidom 20135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-phi 16171  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-eqg 18358  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-od 18736  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-srg 19337  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-rnghom 19551  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-nzr 20112  df-rlreg 20137  df-domn 20138  df-idom 20139  df-cnfld 20180  df-assa 20631  df-asp 20632  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-opsr 20688  df-evls 20848  df-evl 20849  df-psr1 20917  df-vr1 20918  df-ply1 20919  df-coe1 20920  df-evl1 21048  df-mdeg 24765  df-deg1 24766  df-mon1 24843  df-uc1p 24844  df-q1p 24845  df-r1p 24846

This theorem is referenced by: (None)