Theorem lidldomn1 45367

Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldomn1.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lidldomn1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
lidldomn1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomn1	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20480	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2l 1197	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
4		simp2r 1198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5		lidldomn1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidldomn1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	lidlnz 20412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
9		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
14	11, 13	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
15	14	rspcva 3550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 5	lidlss 20394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
21	20	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25		lidldomn1.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		lidldomn1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	17, 25, 26	ringlidm 19725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
28	16, 24, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
30	29	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32		ringgrp 19703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34	33	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
36	19	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38	37	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25	ringcl 19715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	16, 39, 24, 40	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	17, 26	ringidcl 19722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
46	17, 25	ringcl 19715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
47	16, 45, 24, 46	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
49	17, 6, 48	grpsubeq0 18576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
50	35, 41, 47, 49	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
51	17, 25, 48, 16, 39, 45, 24	rngsubdir 19754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)))
52	51	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
54	34, 38, 44	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
56	17, 48	grpsubcl 18570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
58	17, 25, 6	domneq0 20481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
59	53, 57, 24, 58	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
60	17, 6, 48	grpsubeq0 18576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
62	61	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 → 𝐼 = 1 ))
63		eqneqall 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≠ 0 → 𝐼 = 1 ))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
67	62, 66	jaod 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
68	59, 67	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 → 𝐼 = 1 ))
69	52, 68	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 → 𝐼 = 1 ))
70	50, 69	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
72	31, 71	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
73	28, 72	mpdan 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
74	73	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 )))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))
76	75	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
78	15, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
79	78	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
80	79	pm2.43b 55	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
81	80	com14 96	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
82	81	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
83	82	rexlimdva 3212	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
84	8, 83	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LIdealclidl 20347  Domncdomn 20464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-nzr 20442  df-domn 20468

This theorem is referenced by:  uzlidlring  45375