Theorem lidldomn1 48729

Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldomn1.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lidldomn1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
lidldomn1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomn1	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20686	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2l 1206	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
4		simp2r 1207	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5		lidldomn1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidldomn1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	lidlnz 21242	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
9		oveq2 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12		oveq1 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
14	11, 13	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
15	14	rspcva 3565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
16	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 5	lidlss 21212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
21	20	sseld 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25		lidldomn1.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		lidldomn1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	17, 25, 26	ringlidm 20248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
28	16, 24, 27	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29		eqeq2 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
30	29	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32		ringgrp 20217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34	33	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
36	19	sseld 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38	37	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25	ringcl 20229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	16, 39, 24, 40	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	17, 26	ringidcl 20244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
46	17, 25	ringcl 20229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
47	16, 45, 24, 46	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
49	17, 6, 48	grpsubeq0 19000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
50	35, 41, 47, 49	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
51	17, 25, 48, 16, 39, 45, 24	ringsubdir 20287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)))
52	51	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53		simpl1 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
54	34, 38, 44	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
56	17, 48	grpsubcl 18994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
58	17, 25, 6	domneq0 20687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
59	53, 57, 24, 58	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
60	17, 6, 48	grpsubeq0 19000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
62	61	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 → 𝐼 = 1 ))
63		eqneqall 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≠ 0 → 𝐼 = 1 ))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
67	62, 66	jaod 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
68	59, 67	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 → 𝐼 = 1 ))
69	52, 68	sylbird 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 → 𝐼 = 1 ))
70	50, 69	sylbird 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
72	31, 71	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
73	28, 72	mpdan 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
74	73	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 )))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))
76	75	expd 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
77	76	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
78	15, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
79	78	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
80	79	pm2.43b 55	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
81	80	com14 96	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
82	81	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
83	82	rexlimdva 3141	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
84	8, 83	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  -_gcsg 18909  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  Domncdomn 20671  LIdealclidl 21206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-nzr 20492  df-subrg 20549  df-domn 20674  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208

This theorem is referenced by:  uzlidlring  48733