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Theorem lidldomn1 46913
Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldomn1.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
lidldomn1.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lidldomn1.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
lidldomn1.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidldomn1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   1 (π‘₯)   𝐿(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem lidldomn1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 21113 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simp2l 1198 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
4 simp2r 1199 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
5 lidldomn1.l . . . 4 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
6 lidldomn1.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
75, 6lidlnz 21003 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 )
82, 3, 4, 7syl3anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 )
9 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐼 Β· π‘₯) = (𝐼 Β· 𝑦))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦))
12 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐼) = (𝑦 Β· 𝐼))
1312, 10eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯ ↔ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦))
1411, 13anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) ↔ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦)))
1514rspcva 3611 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯)) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦))
162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1817, 5lidlss 20979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
20193ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2120sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2423impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 lidldomn1.t . . . . . . . . . . . . . . 15 Β· = (.rβ€˜π‘…)
26 lidldomn1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (1rβ€˜π‘…)
2717, 25, 26ringlidm 20158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦)
2816, 24, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦)
29 eqeq2 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ( 1 Β· 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
3029eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 1 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
32 ringgrp 20133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Grp)
34333ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3619sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
38373imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4017, 25ringcl 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4116, 39, 24, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4217, 26ringidcl 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
431, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44433ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4617, 25ringcl 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4716, 45, 24, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
48 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
4917, 6, 48grpsubeq0 18946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
5035, 41, 47, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
5117, 25, 48, 16, 39, 45, 24ringsubdir 20197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = ((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)))
5251eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ))
53 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
5434, 38, 443jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
5617, 48grpsubcl 18940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5817, 25, 6domneq0 21114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
5953, 57, 24, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
6017, 6, 48grpsubeq0 18946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
6261biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
63 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 β‰  0 β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6762, 66jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝐼 = 1 ))
6859, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6952, 68sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
7050, 69sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦) β†’ 𝐼 = 1 ))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦) β†’ 𝐼 = 1 ))
7231, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 ))
7328, 72mpdan 684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 ))
7473ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 )))
7574com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 )))
7675expd 415 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7776adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7815, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7978ex 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 )))))
8079pm2.43b 55 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
8180com14 96 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))))
8281imp 406 . . 3 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 )))
8382rexlimdva 3154 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 )))
848, 83mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Grpcgrp 18856  -gcsg 18858  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LIdealclidl 20929  Domncdomn 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-domn 21101
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