Theorem lidldomn1 44182

Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldomn1.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lidldomn1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
lidldomn1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomn1	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20061	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2l 1194	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
4		simp2r 1195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5		lidldomn1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidldomn1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	lidlnz 19993	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
9		oveq2 7156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12		oveq1 7155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
14	11, 13	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
15	14	rspcva 3619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
16	2	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 5	lidlss 19975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
21	20	sseld 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25		lidldomn1.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		lidldomn1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	17, 25, 26	ringlidm 19313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
28	16, 24, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29		eqeq2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
30	29	eqcoms 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32		ringgrp 19294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34	33	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
35	34	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
36	19	sseld 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38	37	3imp 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25	ringcl 19303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	16, 39, 24, 40	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	17, 26	ringidcl 19310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
46	17, 25	ringcl 19303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
47	16, 45, 24, 46	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48		eqid 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
49	17, 6, 48	grpsubeq0 18177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
50	35, 41, 47, 49	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
51	17, 25, 48, 16, 39, 45, 24	rngsubdir 19342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)))
52	51	eqeq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53		simpl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
54	34, 38, 44	3jca 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
55	54	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
56	17, 48	grpsubcl 18171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
58	17, 25, 6	domneq0 20062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
59	53, 57, 24, 58	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
60	17, 6, 48	grpsubeq0 18177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
62	61	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 → 𝐼 = 1 ))
63		eqneqall 3025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≠ 0 → 𝐼 = 1 ))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
65	64	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
66	65	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
67	62, 66	jaod 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
68	59, 67	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 → 𝐼 = 1 ))
69	52, 68	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 → 𝐼 = 1 ))
70	50, 69	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
71	70	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
72	31, 71	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
73	28, 72	mpdan 685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
74	73	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 )))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))
76	75	expd 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
77	76	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
78	15, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
79	78	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
80	79	pm2.43b 55	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
81	80	com14 96	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
82	81	imp 409	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
83	82	rexlimdva 3282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
84	8, 83	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   ⊆ wss 3934  {csn 4559  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  1_rcur 19243  Ringcrg 19289  LIdealclidl 19934  Domncdomn 20045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-lidl 19938  df-nzr 20023  df-domn 20049

This theorem is referenced by:  uzlidlring  44190