Theorem lidldomn1 48074

Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldomn1.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lidldomn1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
lidldomn1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomn1	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20723	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2l 1198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
4		simp2r 1199	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5		lidldomn1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidldomn1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	lidlnz 21269	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
9		oveq2 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12		oveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
14	11, 13	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
15	14	rspcva 3619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 5	lidlss 21239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
21	20	sseld 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25		lidldomn1.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		lidldomn1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	17, 25, 26	ringlidm 20282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
28	16, 24, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29		eqeq2 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
30	29	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32		ringgrp 20255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34	33	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
36	19	sseld 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38	37	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25	ringcl 20267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	16, 39, 24, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	17, 26	ringidcl 20279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
46	17, 25	ringcl 20267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
47	16, 45, 24, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
49	17, 6, 48	grpsubeq0 19056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
50	35, 41, 47, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
51	17, 25, 48, 16, 39, 45, 24	ringsubdir 20321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)))
52	51	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
54	34, 38, 44	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
56	17, 48	grpsubcl 19050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
58	17, 25, 6	domneq0 20724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
59	53, 57, 24, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
60	17, 6, 48	grpsubeq0 19056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
62	61	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 → 𝐼 = 1 ))
63		eqneqall 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≠ 0 → 𝐼 = 1 ))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
67	62, 66	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
68	59, 67	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 → 𝐼 = 1 ))
69	52, 68	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 → 𝐼 = 1 ))
70	50, 69	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
72	31, 71	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
73	28, 72	mpdan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
74	73	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 )))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))
76	75	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
78	15, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
79	78	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
80	79	pm2.43b 55	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
81	80	com14 96	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
82	81	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
83	82	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
84	8, 83	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  {csn 4630  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18963  -_gcsg 18965  1_rcur 20198  Ringcrg 20250  Domncdomn 20708  LIdealclidl 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-nzr 20529  df-subrg 20586  df-domn 20711  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235

This theorem is referenced by:  uzlidlring  48078