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Theorem lidldomn1 42918
 Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldomn1.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t · = (.r𝑅)
lidldomn1.1 1 = (1r𝑅)
lidldomn1.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldomn1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 19693 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1124 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simp2l 1213 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑈𝐿)
4 simp2r 1214 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5 lidldomn1.l . . . 4 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6 lidldomn1.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
75, 6lidlnz 19625 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦𝑈 𝑦0 )
82, 3, 4, 7syl3anc 1439 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑦𝑈 𝑦0 )
9 oveq2 6930 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
1312, 10eqeq12d 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
1411, 13anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
1514rspcva 3508 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
162adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17 eqid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817, 5lidlss 19607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
1918adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20193ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
2120sseld 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2322adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑈𝑦0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2423impcom 398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25 lidldomn1.t . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r𝑅)
26 lidldomn1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (1r𝑅)
2717, 25, 26ringlidm 18958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
2816, 24, 27syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29 eqeq2 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
3029eqcoms 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
3130adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32 ringgrp 18939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34333ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
3534adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
3619sseld 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼𝑈𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼𝑈𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38373imp 1098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
3938adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
4017, 25ringcl 18948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4116, 39, 24, 40syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4217, 26ringidcl 18955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
431, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44433ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4544adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4617, 25ringcl 18948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4716, 45, 24, 46syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48 eqid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑅) = (-g𝑅)
4917, 6, 48grpsubeq0 17888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
5035, 41, 47, 49syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
5117, 25, 48, 16, 39, 45, 24rngsubdir 18987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ((𝐼(-g𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g𝑅)( 1 · 𝑦)))
5251eqeq1d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼(-g𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53 simpl1 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
5434, 38, 443jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
5554adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
5617, 48grpsubcl 17882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (𝐼(-g𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
5817, 25, 6domneq0 19694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝑦 = 0 )))
5953, 57, 24, 58syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼(-g𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝑦 = 0 )))
6017, 6, 48grpsubeq0 17888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝐼 = 1 ))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝐼 = 1 ))
6261biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝐼 = 1 ))
63 eqneqall 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 → (𝑦0𝐼 = 1 ))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦0 → (𝑦 = 0𝐼 = 1 ))
6564adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑈𝑦0 ) → (𝑦 = 0𝐼 = 1 ))
6665adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (𝑦 = 0𝐼 = 1 ))
6762, 66jaod 848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼(-g𝑅) 1 ) = 0𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
6859, 67sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼(-g𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0𝐼 = 1 ))
6952, 68sylbird 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0𝐼 = 1 ))
7050, 69sylbird 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
7170adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
7231, 71sylbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦𝐼 = 1 ))
7328, 72mpdan 677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑦𝑈𝑦0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦𝐼 = 1 ))
7473ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → ((𝑦𝑈𝑦0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦𝐼 = 1 )))
7574com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦𝑈𝑦0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 )))
7675expd 406 . . . . . . . . 9 ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
7776adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
7815, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
7978ex 403 . . . . . 6 (𝑦𝑈 → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
8079pm2.43b 55 . . . . 5 (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
8180com14 96 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (𝑦𝑈 → (𝑦0 → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
8281imp 397 . . 3 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑦0 → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
8382rexlimdva 3212 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑦𝑈 𝑦0 → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
848, 83mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼𝑈) → (∀𝑥𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3791  {csn 4397  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  -gcsg 17811  1rcur 18888  Ringcrg 18934  LIdealclidl 19567  Domncdomn 19677 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-nzr 19655  df-domn 19681 This theorem is referenced by:  uzlidlring  42926
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