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Theorem lidldomn1 46209
Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldomn1.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
lidldomn1.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lidldomn1.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
lidldomn1.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidldomn1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   1 (π‘₯)   𝐿(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem lidldomn1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 20766 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simp2l 1199 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
4 simp2r 1200 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
5 lidldomn1.l . . . 4 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
6 lidldomn1.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
75, 6lidlnz 20698 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 )
82, 3, 4, 7syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 )
9 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐼 Β· π‘₯) = (𝐼 Β· 𝑦))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦))
12 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐼) = (𝑦 Β· 𝐼))
1312, 10eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯ ↔ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦))
1411, 13anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) ↔ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦)))
1514rspcva 3579 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯)) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦))
162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1817, 5lidlss 20680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
20193ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2120sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2423impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 lidldomn1.t . . . . . . . . . . . . . . 15 Β· = (.rβ€˜π‘…)
26 lidldomn1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (1rβ€˜π‘…)
2717, 25, 26ringlidm 19992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦)
2816, 24, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦)
29 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ( 1 Β· 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
3029eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 1 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
32 ringgrp 19969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Grp)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3619sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
38373imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4017, 25ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4116, 39, 24, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4217, 26ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
431, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Domn β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4617, 25ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4716, 45, 24, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
4917, 6, 48grpsubeq0 18833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( 1 Β· 𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
5035, 41, 47, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦)))
5117, 25, 48, 16, 39, 45, 24ringsubdir 20024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = ((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)))
5251eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 ))
53 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
5434, 38, 443jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
5617, 48grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5817, 25, 6domneq0 20767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
5953, 57, 24, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
6017, 6, 48grpsubeq0 18833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
6261biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
63 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 β‰  0 β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (𝑦 = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6762, 66jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝐼 = 1 ))
6859, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼(-gβ€˜π‘…) 1 ) Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
6952, 68sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (((𝐼 Β· 𝑦)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑦)) = 0 β†’ 𝐼 = 1 ))
7050, 69sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦) β†’ 𝐼 = 1 ))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = ( 1 Β· 𝑦) β†’ 𝐼 = 1 ))
7231, 71sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) ∧ ( 1 Β· 𝑦) = 𝑦) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 ))
7328, 72mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 ))
7473ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ 𝐼 = 1 )))
7574com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 )))
7675expd 416 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7776adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐼 Β· 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 Β· 𝐼) = 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7815, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
7978ex 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 )))))
8079pm2.43b 55 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 1 ))))
8180com14 96 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))))
8281imp 407 . . 3 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 )))
8382rexlimdva 3152 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 β‰  0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 )))
848, 83mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ β‰  { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ ((𝐼 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ Β· 𝐼) = π‘₯) β†’ 𝐼 = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073   βŠ† wss 3910  {csn 4586  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LIdealclidl 20631  Domncdomn 20750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-nzr 20728  df-domn 20754
This theorem is referenced by:  uzlidlring  46217
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