Theorem domnmsuppn0 45705

Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmsuppss.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
domnmsuppn0	⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8637	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝐴:𝑉⟶𝑅)
2		fdm 6609	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
3	2	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → 𝑉 = dom 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)))
7		domnring 20567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑅)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
11	10	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
12		rmsuppss.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15	12, 13, 14	ringrz 19827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
18	6, 17	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀))
19	18	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀)))
20	19	necon3d 2964	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
21		simpl1l 1223	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23		simpll2 1212	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)))
24		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
25	24	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
27	26	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
28	27	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
30		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))
31	12, 13, 14	domnmuln0 20569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ ((𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
32	22, 23, 29, 30, 31	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
33	32	ex 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)))
34	20, 33	impbid 211	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
35	5, 34	rabeqbidva 3421	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
36		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐴‘𝑣) = (𝐴‘𝑤))
37	36	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣)) = (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
38	37	cbvmptv 5187	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) = (𝑤 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
39		simp1r 1197	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑋)
40		fvexd 6789	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (0g‘𝑀) ∈ V)
41		ovexd 7310	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ∈ V)
42	38, 39, 40, 41	mptsuppd 8003	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)})
43		elmapfun 8654	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → Fun 𝐴)
44	43	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		suppval1 7983	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ (0g‘𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
47	44, 45, 40, 46	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
48	35, 42, 47	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  Domncdomn 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-nzr 20529  df-domn 20555

This theorem is referenced by: (None)