Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnmsuppn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmsuppn0 47424
Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8862 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
2 fdm 6726 . . . . . 6 (𝐴:𝑉𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
32eqcomd 2734 . . . . 5 (𝐴:𝑉𝑅𝑉 = dom 𝐴)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
543ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6 oveq2 7423 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
7 domnring 21237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) → 𝐶𝑅)
108, 9anim12i 612 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
11103adant3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
14 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1512, 13, 14ringrz 20224 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
186, 17sylan9eqr 2790 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
1918ex 412 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
2019necon3d 2957 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
21 simpl1l 1222 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
2221adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23 simpll2 1211 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)))
24 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2524ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
27263ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
2827imp 406 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2928adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
30 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))
3112, 13, 14domnmuln0 21239 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ ((𝐴𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1372 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3332ex 412 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)))
3420, 33impbid 211 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
355, 34rabeqbidva 3444 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
36 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
3736oveq2d 7431 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
3837cbvmptv 5256 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
39 simp1r 1196 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑋)
40 fvexd 6907 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
41 ovexd 7450 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
4238, 39, 40, 41mptsuppd 8186 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
43 elmapfun 8879 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → Fun 𝐴)
44433ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45 simp3 1136 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
46 suppval1 8166 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4744, 45, 40, 46syl3anc 1369 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4835, 42, 473eqtr4d 2778 1 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  {crab 3428  Vcvv 3470  cmpt 5226  dom cdm 5673  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415   supp csupp 8160  m cmap 8839  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  Ringcrg 20167  Domncdomn 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-nzr 20446  df-domn 21225
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator