Theorem domnmsuppn0 48955

Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmsuppss.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
domnmsuppn0	⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝐴:𝑉⟶𝑅)
2		fdm 6697	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
3	2	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → 𝑉 = dom 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)))
7		domnring 20736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑅)
10	8, 9	anim12i 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
11	10	3adant3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
12		rmsuppss.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
14		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15	12, 13, 14	ringrz 20323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
18	6, 17	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀))
19	18	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀)))
20	19	necon3d 2977	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
21		simpl1l 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
22	21	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23		simpll2 1226	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)))
24		ffvelcdm 7058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
25	24	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
27	26	3ad2ant3 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
28	27	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
29	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
30		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))
31	12, 13, 14	domnmuln0 20738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ ((𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
32	22, 23, 29, 30, 31	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
33	32	ex 416	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)))
34	20, 33	impbid 214	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
35	5, 34	rabeqbidva 3429	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
36		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐴‘𝑣) = (𝐴‘𝑤))
37	36	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣)) = (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
38	37	cbvmptv 5203	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) = (𝑤 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
39		simp1r 1211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑋)
40		fvexd 6878	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (0g‘𝑀) ∈ V)
41		ovexd 7427	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ∈ V)
42	38, 39, 40, 41	mptsuppd 8162	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)})
43		elmapfun 8843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → Fun 𝐴)
44	43	3ad2ant3 1147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45		simp3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		suppval1 8141	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ (0g‘𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
47	44, 45, 40, 46	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
48	35, 42, 47	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  Fun wfun 6511  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   supp csupp 8135   ↑_m cmap 8803  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262  Domncdomn 20721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-nzr 20542  df-domn 20724

This theorem is referenced by: (None)