Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnmsuppn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmsuppn0 42998
Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8145 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
2 fdm 6287 . . . . . 6 (𝐴:𝑉𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
32eqcomd 2832 . . . . 5 (𝐴:𝑉𝑅𝑉 = dom 𝐴)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
543ad2ant3 1171 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6 oveq2 6914 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
7 domnring 19658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
87adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) → 𝐶𝑅)
108, 9anim12i 608 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
11103adant3 1168 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
14 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1512, 13, 14ringrz 18943 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1716adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
186, 17sylan9eqr 2884 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
1918ex 403 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
2019necon3d 3021 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
21 simpl1l 1299 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
2221adantr 474 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23 simpll2 1277 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)))
24 ffvelrn 6607 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2524ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
27263ad2ant3 1171 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
2827imp 397 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2928adantr 474 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
30 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))
3112, 13, 14domnmuln0 19660 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ ((𝐴𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1499 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3332ex 403 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)))
3420, 33impbid 204 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
355, 34rabeqbidva 3410 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
36 fveq2 6434 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
3736oveq2d 6922 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
3837cbvmptv 4974 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
39 simp1r 1261 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉𝑋)
40 fvexd 6449 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
41 ovexd 6940 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
4238, 39, 40, 41mptsuppd 7583 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
43 elmapfun 8147 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → Fun 𝐴)
44433ad2ant3 1171 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → Fun 𝐴)
45 simp3 1174 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
46 suppval1 7566 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4744, 45, 40, 46syl3anc 1496 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4835, 42, 473eqtr4d 2872 1 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  {crab 3122  Vcvv 3415  cmpt 4953  dom cdm 5343  Fun wfun 6118  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906   supp csupp 7560  𝑚 cmap 8123  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  0gc0g 16454  Ringcrg 18902  Domncdomn 19642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-nzr 19620  df-domn 19646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator