Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnmsuppn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmsuppn0 47133
Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8845 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
2 fdm 6725 . . . . . 6 (𝐴:𝑉𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
32eqcomd 2736 . . . . 5 (𝐴:𝑉𝑅𝑉 = dom 𝐴)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
543ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6 oveq2 7419 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
7 domnring 21112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
87adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) → 𝐶𝑅)
108, 9anim12i 611 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
11103adant3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
14 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1512, 13, 14ringrz 20182 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1716adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
186, 17sylan9eqr 2792 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
1918ex 411 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
2019necon3d 2959 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
21 simpl1l 1222 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
2221adantr 479 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23 simpll2 1211 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)))
24 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2524ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
27263ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
2827imp 405 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2928adantr 479 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
30 simpr 483 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))
3112, 13, 14domnmuln0 21114 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ ((𝐴𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1372 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3332ex 411 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)))
3420, 33impbid 211 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
355, 34rabeqbidva 3446 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
36 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
3736oveq2d 7427 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
3837cbvmptv 5260 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
39 simp1r 1196 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑋)
40 fvexd 6905 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
41 ovexd 7446 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
4238, 39, 40, 41mptsuppd 8174 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
43 elmapfun 8862 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → Fun 𝐴)
44433ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45 simp3 1136 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
46 suppval1 8154 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4744, 45, 40, 46syl3anc 1369 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4835, 42, 473eqtr4d 2780 1 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472  cmpt 5230  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  m cmap 8822  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  Domncdomn 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-domn 21100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator