Theorem domnmsuppn0 48214

Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmsuppss.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
domnmsuppn0	⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝐴:𝑉⟶𝑅)
2		fdm 6746	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
3	2	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → 𝑉 = dom 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)))
7		domnring 20724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑅)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
11	10	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
12		rmsuppss.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15	12, 13, 14	ringrz 20308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
18	6, 17	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀))
19	18	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀)))
20	19	necon3d 2959	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
21		simpl1l 1223	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23		simpll2 1212	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)))
24		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
25	24	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
27	26	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
28	27	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))
31	12, 13, 14	domnmuln0 20726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ ((𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
32	22, 23, 29, 30, 31	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)))
34	20, 33	impbid 212	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
35	5, 34	rabeqbidva 3450	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
36		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐴‘𝑣) = (𝐴‘𝑤))
37	36	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣)) = (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
38	37	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) = (𝑤 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
39		simp1r 1197	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑋)
40		fvexd 6922	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (0g‘𝑀) ∈ V)
41		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ∈ V)
42	38, 39, 40, 41	mptsuppd 8211	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)})
43		elmapfun 8905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → Fun 𝐴)
44	43	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		suppval1 8190	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ (0g‘𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
47	44, 45, 40, 46	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
48	35, 42, 47	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  Domncdomn 20709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-domn 20712

This theorem is referenced by: (None)