Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  domnmsuppn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmsuppn0 44562
 Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
domnmsuppn0 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8406 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
2 fdm 6498 . . . . . 6 (𝐴:𝑉𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
32eqcomd 2826 . . . . 5 (𝐴:𝑉𝑅𝑉 = dom 𝐴)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
543ad2ant3 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6 oveq2 7141 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
7 domnring 20045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
87adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) → 𝐶𝑅)
108, 9anim12i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
11103adant3 1128 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅))
12 rmsuppss.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
14 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1512, 13, 14ringrz 19317 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
1716adantr 483 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
186, 17sylan9eqr 2877 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
1918ex 415 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
2019necon3d 3027 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
21 simpl1l 1220 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
2221adantr 483 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23 simpll2 1209 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)))
24 ffvelrn 6825 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2524ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
27263ad2ant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅))
2827imp 409 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
2928adantr 483 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
30 simpr 487 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))
3112, 13, 14domnmuln0 20047 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ ((𝐴𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀))) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3222, 23, 29, 30, 31syl112anc 1370 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀))
3332ex 415 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)))
3420, 33impbid 214 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
355, 34rabeqbidva 3465 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
36 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
3736oveq2d 7149 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
3837cbvmptv 5145 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
39 simp1r 1194 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑋)
40 fvexd 6661 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
41 ovexd 7168 . . 3 ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
4238, 39, 40, 41mptsuppd 7831 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
43 elmapfun 8408 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → Fun 𝐴)
44433ad2ant3 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45 simp3 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
46 suppval1 7814 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4744, 45, 40, 46syl3anc 1367 . 2 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
4835, 42, 473eqtr4d 2865 1 (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐶𝑅𝐶 ≠ (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = (𝐴 supp (0g𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  {crab 3129  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5122  dom cdm 5531  Fun wfun 6325  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   supp csupp 7808   ↑m cmap 8384  Basecbs 16462  .rcmulr 16545  0gc0g 16692  Ringcrg 19276  Domncdomn 20029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mgp 19219  df-ring 19278  df-nzr 20007  df-domn 20033 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator