Theorem domnmsuppn0 45593

Description: The support of a mapping of a multiplication of a nonzero constant with a function into a (ring theoretic) domain equals the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmsuppss.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
domnmsuppn0	⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem domnmsuppn0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝐴:𝑉⟶𝑅)
2		fdm 6593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
3	2	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → 𝑉 = dom 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑉 = dom 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 = dom 𝐴)
6		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)))
7		domnring 20480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ Domn → 𝑀 ∈ Ring)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ Ring)
9		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) → 𝐶 ∈ 𝑅)
10	8, 9	anim12i 612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀))) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
11	10	3adant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅))
12		rmsuppss.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑀) = (.r‘𝑀)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
15	12, 13, 14	ringrz 19742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
18	6, 17	sylan9eqr 2801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀))
19	18	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) = (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) = (0g‘𝑀)))
20	19	necon3d 2963	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
21		simpl1l 1222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Domn)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → 𝑀 ∈ Domn)
23		simpll2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)))
24		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
25	24	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴:𝑉⟶𝑅 → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
27	26	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅))
28	27	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅)
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))
31	12, 13, 14	domnmuln0 20482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Domn ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ ((𝐴‘𝑤) ∈ 𝑅 ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀))) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
32	22, 23, 29, 30, 31	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)))
34	20, 33	impbid 211	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)))
35	5, 34	rabeqbidva 3411	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)} = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
36		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐴‘𝑣) = (𝐴‘𝑤))
37	36	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣)) = (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
38	37	cbvmptv 5183	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) = (𝑤 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)))
39		simp1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑋)
40		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (0g‘𝑀) ∈ V)
41		ovexd 7290	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ∈ V)
42	38, 39, 40, 41	mptsuppd 7974	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ 𝑉 ∣ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑤)) ≠ (0g‘𝑀)})
43		elmapfun 8612	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → Fun 𝐴)
44	43	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → Fun 𝐴)
45		simp3 1136	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		suppval1 7954	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ (0g‘𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
47	44, 45, 40, 46	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴‘𝑤) ≠ (0g‘𝑀)})
48	35, 42, 47	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Domn ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) = (𝐴 supp (0g‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  Domncdomn 20464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-nzr 20442  df-domn 20468

This theorem is referenced by: (None)