Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzlidlring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzlidlring 46916
Description: Only the zero (left) ideal or the unit (left) ideal of a domain is a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
zlidlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zlidlring.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
uzlidlring ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (𝐼 ∈ Ring ↔ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))

Proof of Theorem uzlidlring
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
2 eqid 2731 . . 3 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
31, 2isringrng 20176 . 2 (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
4 domnring 21113 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54anim1i 614 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿))
6 lidlabl.l . . . . 5 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
7 lidlabl.i . . . . 5 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
86, 7lidlrng 46914 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
10 ibar 528 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Rng β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))))
1110bicomd 222 . . . . 5 (𝐼 ∈ Rng β†’ ((𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
1211adantl 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
13 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
147, 13ressmulr 17257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
1514eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
1615oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦))
1716eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦))
1815oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
1918eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
2120ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
2322ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
24 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
256, 7lidlbas 20981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
2625eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
2726ibir 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿)
2827ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿)
2925ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
3029eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((Baseβ€˜πΌ) = { 0 } ↔ π‘ˆ = { 0 }))
3130biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((Baseβ€˜πΌ) = { 0 } β†’ π‘ˆ = { 0 }))
3231necon3bd 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (Β¬ π‘ˆ = { 0 } β†’ (Baseβ€˜πΌ) β‰  { 0 }))
3332imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (Baseβ€˜πΌ) β‰  { 0 })
3428, 33jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ ((Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ∧ (Baseβ€˜πΌ) β‰  { 0 }))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ ((Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ∧ (Baseβ€˜πΌ) β‰  { 0 }))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ))
37 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
38 zlidlring.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜π‘…)
396, 13, 37, 38lidldomn1 46912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ∧ (Baseβ€˜πΌ) β‰  { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)))
4024, 35, 36, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)))
4123, 40sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…)))
4241imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ π‘₯ = (1rβ€˜π‘…))
4325ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
4443eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ) ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
4544biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
4645imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
4842, 47eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
4948rexlimdva2 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ Β¬ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ))
5049impancom 451 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ (Β¬ π‘ˆ = { 0 } β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ))
515adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿))
52 zlidlring.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
536, 52, 37lidl1el 20991 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ↔ π‘ˆ = 𝐡))
5451, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ↔ π‘ˆ = 𝐡))
5554adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ↔ π‘ˆ = 𝐡))
5650, 55sylibd 238 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ (Β¬ π‘ˆ = { 0 } β†’ π‘ˆ = 𝐡))
5756orrd 860 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) β†’ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡))
5857ex 412 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))
596, 7, 52, 38zlidlring 46915 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Ring)
603simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Ring β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
6261ex 412 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
634, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
6463ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
655anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng))
6652, 13ringideu 20149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
67 reurex 3379 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
6968adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
717, 52ressbas 17184 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜πΌ))
7271ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜πΌ))
73 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ = 𝐡 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) = (𝐡 ∩ 𝐡))
74 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ 𝐡) = 𝐡
7573, 74eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ = 𝐡 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) = 𝐡)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) = 𝐡)
7772, 76eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (Baseβ€˜πΌ) = 𝐡)
7820ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
7977, 78raleqbidv 3341 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
8077, 79rexeqbidv 3342 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
8170, 80mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) ∧ π‘ˆ = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
8281ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (π‘ˆ = 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
8365, 82syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (π‘ˆ = 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
8464, 83jaod 856 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
8558, 84impbid 211 . . . 4 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))
8612, 85bitrd 279 . . 3 (((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ Rng) β†’ ((𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) ↔ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))
879, 86mpdan 684 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)) ↔ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))
883, 87bitrid 283 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (𝐼 ∈ Ring ↔ (π‘ˆ = { 0 } ∨ π‘ˆ = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  βˆƒ!wreu 3373   ∩ cin 3947  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Rngcrng 20047  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LIdealclidl 20929  Domncdomn 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-domn 21101
This theorem is referenced by:  lidldomnnring  46917
  Copyright terms: Public domain W3C validator