MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domneq0 20335
Description: In a domain, a product is zero iff it has a zero factor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t · = (.r𝑅)
domneq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
domneq0 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem domneq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1152 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
2 domneq0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 domneq0.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4 domneq0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
52, 3, 4isdomn 20332 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
65simprbi 500 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
763ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
8 oveq1 7220 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
98eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑦) = 0 ))
10 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0𝑋 = 0 ))
1110orbi1d 917 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 = 0𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑦 = 0 )))
129, 11imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0𝑦 = 0 ))))
13 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
1413eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
15 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 = 0𝑌 = 0 ))
1615orbi2d 916 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 = 0𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
1714, 16imbi12d 348 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))))
1812, 17rspc2va 3548 . . 3 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
191, 7, 18syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
20 domnring 20334 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
21203ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simp3 1140 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
232, 3, 4ringlz 19605 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
2421, 22, 23syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
25 oveq1 7220 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
2625eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
2724, 26syl5ibrcom 250 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
28 simp2 1139 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
292, 3, 4ringrz 19606 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3021, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
31 oveq2 7221 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
3231eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
3330, 32syl5ibrcom 250 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
3427, 33jaod 859 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 = 0𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
3519, 34impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  .rcmulr 16803  0gc0g 16944  Ringcrg 19562  NzRingcnzr 20295  Domncdomn 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-nzr 20296  df-domn 20322
This theorem is referenced by:  domnmuln0  20336  opprdomn  20339  fidomndrnglem  20344  domnchr  20497  znidomb  20526  fta1glem2  25064  qsidomlem1  31342  lidldomn1  45152
  Copyright terms: Public domain W3C validator