MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domneq0 19804
Description: In a domain, a product is zero iff it has a zero factor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t · = (.r𝑅)
domneq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
domneq0 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem domneq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
2 domneq0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 domneq0.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4 domneq0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
52, 3, 4isdomn 19801 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
65simprbi 489 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
763ad2ant1 1114 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
8 oveq1 6982 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
98eqeq1d 2775 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑦) = 0 ))
10 eqeq1 2777 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0𝑋 = 0 ))
1110orbi1d 901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 = 0𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑦 = 0 )))
129, 11imbi12d 337 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0𝑦 = 0 ))))
13 oveq2 6983 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
1413eqeq1d 2775 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
15 eqeq1 2777 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 = 0𝑌 = 0 ))
1615orbi2d 900 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 = 0𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
1714, 16imbi12d 337 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))))
1812, 17rspc2va 3544 . . 3 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
191, 7, 18syl2anc 576 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
20 domnring 19803 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
21203ad2ant1 1114 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simp3 1119 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
232, 3, 4ringlz 19073 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
2421, 22, 23syl2anc 576 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
25 oveq1 6982 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
2625eqeq1d 2775 . . . 4 (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
2724, 26syl5ibrcom 239 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
28 simp2 1118 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
292, 3, 4ringrz 19074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3021, 28, 29syl2anc 576 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
31 oveq2 6983 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
3231eqeq1d 2775 . . . 4 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
3330, 32syl5ibrcom 239 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
3427, 33jaod 846 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 = 0𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
3519, 34impbid 204 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338  .rcmulr 16421  0gc0g 16568  Ringcrg 19033  NzRingcnzr 19764  Domncdomn 19787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-plusg 16433  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-mgp 18976  df-ring 19035  df-nzr 19765  df-domn 19791
This theorem is referenced by:  domnmuln0  19805  opprdomn  19808  fidomndrnglem  19813  domnchr  20397  znidomb  20426  fta1glem2  24479  lidldomn1  43586
  Copyright terms: Public domain W3C validator