Theorem domneq0 21251

Description: In a domain, a product is zero iff it has a zero factor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
domneq0	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem domneq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
2		domneq0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		domneq0.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domneq0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	2, 3, 4	isdomn 21248	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
6	5	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
7	6	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
8		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
9	8	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑦) = 0 ))
10		eqeq1 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
11	10	orbi1d 914	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
12	9, 11	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
13		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
14	13	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
15		eqeq1 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))
16	15	orbi2d 913	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
17	14, 16	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑦) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))))
18	12, 17	rspc2va 3623	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
19	1, 7, 18	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
20		domnring 21250	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	2, 3, 4	ringlz 20236	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
24	21, 22, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
25		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
27	24, 26	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
28		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	2, 3, 4	ringrz 20237	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
30	21, 28, 29	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
31		oveq2 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
32	31	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
33	30, 32	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
34	27, 33	jaod 857	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
35	19, 34	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  ._rcmulr 17241  0_gc0g 17428  Ringcrg 20180  NzRingcnzr 20458  Domncdomn 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-domn 21238

This theorem is referenced by:  domnmuln0  21252  opprdomn  21258  fidomndrnglem  21267  domnchr  21469  znidomb  21502  fta1glem2  26123  subrdom  32977  qsidomlem1  33193  minplyirred  33414  lidldomn1  47371