MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domneq0 21251
Description: In a domain, a product is zero iff it has a zero factor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
domneq0.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
domneq0.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
domneq0 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))

Proof of Theorem domneq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1147 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
2 domneq0.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 domneq0.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 domneq0.z . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐‘…)
52, 3, 4isdomn 21248 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
65simprbi 495 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
763ad2ant1 1130 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
8 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ))
98eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 ))
10 eqeq1 2732 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘‹ = 0 ))
1110orbi1d 914 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ) โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
129, 11imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
13 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
1413eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
15 eqeq1 2732 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
1615orbi2d 913 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ) โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
1714, 16imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 ))))
1812, 17rspc2va 3623 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
191, 7, 18syl2anc 582 . 2 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
20 domnring 21250 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 simp3 1135 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
232, 3, 4ringlz 20236 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 )
2421, 22, 23syl2anc 582 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 )
25 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ( 0 ยท ๐‘Œ))
2625eqeq1d 2730 . . . 4 (๐‘‹ = 0 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 ))
2724, 26syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
28 simp2 1134 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
292, 3, 4ringrz 20237 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
3021, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
31 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
3231eqeq1d 2730 . . . 4 (๐‘Œ = 0 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 ))
3330, 32syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
3427, 33jaod 857 . 2 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
3519, 34impbid 211 1 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Ringcrg 20180  NzRingcnzr 20458  Domncdomn 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-domn 21238
This theorem is referenced by:  domnmuln0  21252  opprdomn  21258  fidomndrnglem  21267  domnchr  21469  znidomb  21502  fta1glem2  26123  subrdom  32977  qsidomlem1  33193  minplyirred  33414  lidldomn1  47371
  Copyright terms: Public domain W3C validator