MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domneq0 21204
Description: In a domain, a product is zero iff it has a zero factor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
domneq0.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
domneq0.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
domneq0 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))

Proof of Theorem domneq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1147 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
2 domneq0.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 domneq0.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 domneq0.z . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐‘…)
52, 3, 4isdomn 21201 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
65simprbi 496 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
763ad2ant1 1130 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
8 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ))
98eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 ))
10 eqeq1 2730 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘‹ = 0 ))
1110orbi1d 913 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ) โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
129, 11imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
1413eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
15 eqeq1 2730 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
1615orbi2d 912 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ) โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
1714, 16imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 ))))
1812, 17rspc2va 3618 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
191, 7, 18syl2anc 583 . 2 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
20 domnring 21203 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 simp3 1135 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
232, 3, 4ringlz 20189 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 )
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 )
25 oveq1 7411 . . . . 5 (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ( 0 ยท ๐‘Œ))
2625eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘‹ = 0 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ( 0 ยท ๐‘Œ) = 0 ))
2724, 26syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
28 simp2 1134 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
292, 3, 4ringrz 20190 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
3021, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
31 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
3231eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘Œ = 0 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 ))
3330, 32syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
3427, 33jaod 856 . 2 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
3519, 34impbid 211 1 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  Ringcrg 20135  NzRingcnzr 20411  Domncdomn 21187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-nzr 20412  df-domn 21191
This theorem is referenced by:  domnmuln0  21205  opprdomn  21210  fidomndrnglem  21216  domnchr  21418  znidomb  21451  fta1glem2  26053  qsidomlem1  33076  minplyirred  33289  lidldomn1  47163
  Copyright terms: Public domain W3C validator