Theorem nzrring 20027

Description: A nonzero ring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nzrring	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nzrring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20025	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ‘cfv 6324  0_gc0g 16705  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  NzRingcnzr 20023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-nzr 20024

This theorem is referenced by:  opprnzr  20031  nzrunit  20033  domnring  20062  domnchr  20224  uvcf1  20481  lindfind2  20507  frlmisfrlm  20537  nminvr  23275  deg1pw  24721  ply1nz  24722  ply1remlem  24763  ply1rem  24764  facth1  24765  fta1glem1  24766  fta1glem2  24767  prmidl0  31034  krull  31051  zrhnm  31320  uvcn0  39455  0prjspnlem  39612  mon1pid  40149  mon1psubm  40150  nzrneg1ne0  44493  islindeps2  44892