Theorem nzrring 20445

Description: A nonzero ring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nzrring	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nzrring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20443	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  NzRingcnzr 20441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-nzr 20442

This theorem is referenced by:  opprnzr  20449  nzrunit  20451  domnring  20480  domnchr  20648  uvcf1  20909  lindfind2  20935  frlmisfrlm  20965  nminvr  23739  deg1pw  25190  ply1nz  25191  ply1remlem  25232  ply1rem  25233  facth1  25234  fta1glem1  25235  fta1glem2  25236  prmidl0  31528  krull  31545  zrhnm  31819  isdomn4  40100  uvcn0  40190  0prjspnlem  40381  mon1pid  40946  mon1psubm  40947  nzrneg1ne0  45315  islindeps2  45712