Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | alral 3080 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
2 | 1 | alimi 1814 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
3 | | alral 3080 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . 4
⊢
(∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
5 | 4 | ralimi 3087 |
. . 3
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
6 | | ralcom 3166 |
. . . 4
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
7 | | ralcom 3166 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
8 | 7 | ralbii 3092 |
. . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
9 | 6, 8 | bitri 274 |
. . 3
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
10 | 5, 9 | sylib 217 |
. 2
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
11 | | dftr2 5193 |
. . 3
⊢ (Tr 𝑧 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
12 | 11 | ralbii 3092 |
. 2
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 Tr 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
13 | | df-po 5503 |
. . 3
⊢ ( E Po
𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥 E 𝑥 ∧ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))) |
14 | | epel 5498 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦) |
15 | | epel 5498 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) |
16 | 14, 15 | anbi12i 627 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) |
17 | | epel 5498 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧) |
18 | 16, 17 | imbi12i 351 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
19 | | elirrv 9355 |
. . . . . . . 8
⊢ ¬
𝑥 ∈ 𝑥 |
20 | | epel 5498 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥) |
21 | 19, 20 | mtbir 323 |
. . . . . . 7
⊢ ¬
𝑥 E 𝑥 |
22 | 21 | biantrur 531 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧) ↔ (¬ 𝑥 E 𝑥 ∧ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))) |
23 | 18, 22 | bitr3i 276 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (¬ 𝑥 E 𝑥 ∧ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))) |
24 | 23 | ralbii 3092 |
. . . 4
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥 E 𝑥 ∧ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))) |
25 | 24 | 2ralbii 3093 |
. . 3
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥 E 𝑥 ∧ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))) |
26 | 13, 25 | bitr4i 277 |
. 2
⊢ ( E Po
𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧)) |
27 | 10, 12, 26 | 3imtr4i 292 |
1
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐴 Tr 𝑧 → E Po 𝐴) |