MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem3 18281
Description: Lemma for sylow1 18284. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑆,𝑔   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑆   𝑔,𝑁   𝑤,𝑠,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, ,𝑧   ,𝑔,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 sylow1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 18279 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
109simpld 488 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
11 pcndvds 15851 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
121, 10, 11syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
139simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1413oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1) = (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1))
1514oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) = (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)))
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 18280 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
1918, 2gaorber 18006 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑆)
21 pwfi 8468 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
224, 21sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
23 ssrab2 3847 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
248, 23eqsstri 3795 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
25 ssfi 8387 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
2622, 24, 25sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
2720, 26qshash 14845 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
2815, 27breq12d 4822 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧)))
2912, 28mtbid 315 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
30 pwfi 8468 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3126, 30sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3220qsss 8011 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆)
33 ssfi 8387 . . . . . . 7 ((𝒫 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3534adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
36 prmnn 15670 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
381, 10pccld 15836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3913, 38eqeltrrd 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0)
40 peano2nn0 11580 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4237, 41nnexpcld 13237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
4342nnzd 11728 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
4443adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
45 erdm 7957 . . . . . . . . . 10 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
4620, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom = 𝑆)
47 elqsn0 8019 . . . . . . . . 9 ((dom = 𝑆𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4846, 47sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4926adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑆 ∈ Fin)
5032sselda 3761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
5150elpwid 4327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧𝑆)
52 ssfi 8387 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ Fin)
5349, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
54 hashnncl 13359 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Fin → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5648, 55mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5756adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5857nnzd 11728 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℤ)
59 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑧 → (♯‘𝑎) = (♯‘𝑧))
6059oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
6160breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6261notbid 309 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑧 → (¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6362rspccva 3460 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
6463adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
652grpbn0 17720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
67 hashnncl 13359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
684, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6966, 68mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
701, 69pccld 15836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
7170nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
725nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7371, 72zsubcld 11734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7473ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7574zred 11729 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℝ)
761ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑃 ∈ ℙ)
7776, 57pccld 15836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 11727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ)
7978zred 11729 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℝ)
8075, 79ltnled 10438 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
8164, 80mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
82 zltp1le 11674 . . . . . . . 8 ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8374, 78, 82syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8481, 83mpbid 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
8541ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
86 pcdvdsb 15854 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8776, 58, 85, 86syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8884, 87mpbid 223 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧))
8935, 44, 58, 88fsumdvds 15317 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
9029, 89mtand 850 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
91 dfrex2 3142 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
9290, 91sylibr 225 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
93 eqid 2765 . . . 4 (𝑆 / ) = (𝑆 / )
94 fveq2 6375 . . . . . . 7 ([𝑧] = 𝑎 → (♯‘[𝑧] ) = (♯‘𝑎))
9594oveq2d 6858 . . . . . 6 ([𝑧] = 𝑎 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)))
9695breq1d 4819 . . . . 5 ([𝑧] = 𝑎 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9796imbi1d 332 . . . 4 ([𝑧] = 𝑎 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))))
98 eceq1 7985 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → [𝑤] = [𝑧] )
9998fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (♯‘[𝑤] ) = (♯‘[𝑧] ))
10099oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) = (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )))
101100breq1d 4819 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
102101rspcev 3461 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ∧ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
103102ex 401 . . . . 5 (𝑧𝑆 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
104103adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10593, 97, 104ectocld 8017 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
106105rexlimdva 3178 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10792, 106mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {cpr 4336   class class class wbr 4809  {copab 4871  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844   Er wer 7944  [cec 7945   / cqs 7946  Fincfn 8160  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cexp 13067  chash 13321  Σcsu 14703  cdvds 15267  cprime 15667   pCnt cpc 15822  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  Grpcgrp 17691   GrpAct cga 17987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-ga 17988
This theorem is referenced by:  sylow1  18284
  Copyright terms: Public domain W3C validator