MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem3 19618
Description: Lemma for sylow1 19621. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑆,𝑔   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑆   𝑔,𝑁   𝑤,𝑠,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, ,𝑧   ,𝑔,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 sylow1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 19616 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
109simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
11 pcndvds 16904 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
121, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
139simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1413oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1) = (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1))
1514oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) = (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)))
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 19617 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
1918, 2gaorber 19326 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑆)
21 pwfi 9357 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
224, 21sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
238ssrab3 4082 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
24 ssfi 9213 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
2522, 23, 24sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
2620, 25qshash 15863 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
2715, 26breq12d 5156 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧)))
2812, 27mtbid 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
29 pwfi 9357 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3025, 29sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3120qsss 8818 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆)
3230, 31ssfid 9301 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
34 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
361, 10pccld 16888 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3713, 36eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0)
38 peano2nn0 12566 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4035, 39nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
4140nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
4241adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
43 erdm 8755 . . . . . . . . . 10 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
4420, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom = 𝑆)
45 elqsn0 8826 . . . . . . . . 9 ((dom = 𝑆𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4644, 45sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4725adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑆 ∈ Fin)
4831sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
4948elpwid 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧𝑆)
5047, 49ssfid 9301 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
51 hashnncl 14405 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Fin → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5250, 51syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5346, 52mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5453adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5554nnzd 12640 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℤ)
56 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑧 → (♯‘𝑎) = (♯‘𝑧))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
5857breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
5958notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑧 → (¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6059rspccva 3621 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
6160adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
622grpbn0 18984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
633, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
64 hashnncl 14405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
654, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6663, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
671, 66pccld 16888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
6867nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
695nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7068, 69zsubcld 12727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7170ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7271zred 12722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℝ)
731ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑃 ∈ ℙ)
7473, 54pccld 16888 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℕ0)
7574nn0zd 12639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ)
7675zred 12722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℝ)
7772, 76ltnled 11408 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
7861, 77mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
79 zltp1le 12667 . . . . . . . 8 ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8071, 75, 79syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8178, 80mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
8239ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
83 pcdvdsb 16907 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8473, 55, 82, 83syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8581, 84mpbid 232 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧))
8633, 42, 55, 85fsumdvds 16345 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
8728, 86mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
88 dfrex2 3073 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
8987, 88sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
90 eqid 2737 . . . 4 (𝑆 / ) = (𝑆 / )
91 fveq2 6906 . . . . . . 7 ([𝑧] = 𝑎 → (♯‘[𝑧] ) = (♯‘𝑎))
9291oveq2d 7447 . . . . . 6 ([𝑧] = 𝑎 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)))
9392breq1d 5153 . . . . 5 ([𝑧] = 𝑎 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9493imbi1d 341 . . . 4 ([𝑧] = 𝑎 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))))
95 eceq1 8784 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → [𝑤] = [𝑧] )
9695fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (♯‘[𝑤] ) = (♯‘[𝑧] ))
9796oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) = (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )))
9897breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9998rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ∧ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
10099ex 412 . . . . 5 (𝑧𝑆 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
101100adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10290, 94, 101ectocld 8824 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
103102rexlimdva 3155 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10489, 103mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Fincfn 8985  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  chash 14369  Σcsu 15722  cdvds 16290  cprime 16708   pCnt cpc 16874  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951   GrpAct cga 19307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ga 19308
This theorem is referenced by:  sylow1  19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator