Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem3 18721
 Description: Lemma for sylow1 18724. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑆,𝑔   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑆   𝑔,𝑁   𝑤,𝑠,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, ,𝑧   ,𝑔,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 sylow1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 18719 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
109simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
11 pcndvds 16196 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
121, 10, 11syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
139simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1413oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1) = (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1))
1514oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) = (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)))
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 18720 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
1918, 2gaorber 18434 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑆)
21 pwfi 8807 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
224, 21sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
238ssrab3 4011 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
24 ssfi 8726 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
2522, 23, 24sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
2620, 25qshash 15178 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
2715, 26breq12d 5046 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧)))
2812, 27mtbid 327 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
29 pwfi 8807 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3025, 29sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3120qsss 8345 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆)
3230, 31ssfid 8729 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3332adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
34 prmnn 16012 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
361, 10pccld 16181 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3713, 36eqeltrrd 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0)
38 peano2nn0 11929 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4035, 39nnexpcld 13606 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
4140nnzd 12078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
4241adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
43 erdm 8286 . . . . . . . . . 10 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
4420, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom = 𝑆)
45 elqsn0 8353 . . . . . . . . 9 ((dom = 𝑆𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4644, 45sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4725adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑆 ∈ Fin)
4831sselda 3918 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
4948elpwid 4511 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧𝑆)
5047, 49ssfid 8729 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
51 hashnncl 13727 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Fin → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5250, 51syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5346, 52mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5453adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5554nnzd 12078 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℤ)
56 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑧 → (♯‘𝑎) = (♯‘𝑧))
5756oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
5857breq1d 5043 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
5958notbid 321 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑧 → (¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6059rspccva 3573 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
6160adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
622grpbn0 18128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
633, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
64 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
654, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6663, 65mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
671, 66pccld 16181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
6867nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
695nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7068, 69zsubcld 12084 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7271zred 12079 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℝ)
731ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑃 ∈ ℙ)
7473, 54pccld 16181 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℕ0)
7574nn0zd 12077 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ)
7675zred 12079 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℝ)
7772, 76ltnled 10780 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
7861, 77mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
79 zltp1le 12024 . . . . . . . 8 ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8071, 75, 79syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8178, 80mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
8239ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
83 pcdvdsb 16199 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8473, 55, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8581, 84mpbid 235 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧))
8633, 42, 55, 85fsumdvds 15654 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
8728, 86mtand 815 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
88 dfrex2 3205 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
8987, 88sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
90 eqid 2801 . . . 4 (𝑆 / ) = (𝑆 / )
91 fveq2 6649 . . . . . . 7 ([𝑧] = 𝑎 → (♯‘[𝑧] ) = (♯‘𝑎))
9291oveq2d 7155 . . . . . 6 ([𝑧] = 𝑎 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)))
9392breq1d 5043 . . . . 5 ([𝑧] = 𝑎 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9493imbi1d 345 . . . 4 ([𝑧] = 𝑎 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))))
95 eceq1 8314 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → [𝑤] = [𝑧] )
9695fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (♯‘[𝑤] ) = (♯‘[𝑧] ))
9796oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) = (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )))
9897breq1d 5043 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9998rspcev 3574 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ∧ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
10099ex 416 . . . . 5 (𝑧𝑆 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
101100adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10290, 94, 101ectocld 8351 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
103102rexlimdva 3246 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10489, 103mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  {cpr 4530   class class class wbr 5033  {copab 5095   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   Er wer 8273  [cec 8274   / cqs 8275  Fincfn 8496  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ↑cexp 13429  ♯chash 13690  Σcsu 15038   ∥ cdvds 15603  ℙcprime 16009   pCnt cpc 16167  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Grpcgrp 18099   GrpAct cga 18415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-ga 18416 This theorem is referenced by:  sylow1  18724
 Copyright terms: Public domain W3C validator