Theorem vitalilem5 25520

Description: Lemma for vitali 25521. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
vitali.2	⊢ 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
vitali.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
vitali.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
vitali.6	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺‘𝑛)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7	⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))

Assertion

Ref	Expression
vitalilem5	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝜑,𝑛,𝑥,𝑧   𝑧,𝑆   𝑥,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   ∼ ,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11707	. . . 4 ⊢ 0 < 1
2		0re 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11708	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
5		ovolicc 25431	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0))
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0)
7		1m0e1 12309	. . . . 5 ⊢ (1 − 0) = 1
8	6, 7	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (vol*‘(0[,]1)) = 1
9	1, 8	breqtrri 5137	. . 3 ⊢ 0 < (vol*‘(0[,]1))
10	8, 3	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ (vol*‘(0[,]1)) ∈ ℝ
11	2, 10	ltnlei 11302	. . 3 ⊢ (0 < (vol*‘(0[,]1)) ↔ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
12	9, 11	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0
13		vitali.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
14		vitali.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
15		vitali.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
16		vitali.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
17		vitali.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
18		vitali.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺‘𝑛)) ∈ ran 𝐹})
19		vitali.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
20	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	vitalilem2 25517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∧ ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ (-1[,]2)))
21	20	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚))
22	13	vitalilem1 25516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∼ Er (0[,]1)
23		erdm 8684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ( ∼ Er (0[,]1) → dom ∼ = (0[,]1))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ dom ∼ = (0[,]1)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
26	25, 14	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ ))
27		elqsn0 8760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((dom ∼ = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ )) → 𝑧 ≠ ∅)
28	24, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≠ ∅)
29	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (0[,]1))
30	29	qsss 8752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) / ∼ ) ⊆ 𝒫 (0[,]1))
31	14, 30	eqsstrid 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 (0[,]1))
32	31	sselda 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
33	32	elpwid 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ⊆ (0[,]1))
34	33	sseld 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,]1)))
35	28, 34	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,]1)))
36	35	ralimdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,]1)))
37	16, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,]1))
38		ffnfv 7094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,]1)))
39	15, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶(0[,]1))
40	39	frnd 6699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
41		unitssre 13467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
42	40, 41	sstrdi 3962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
43		reex 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	elpw2 5292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ)
45	42, 44	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
46	45	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
47		eldif 3927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ ran 𝐹 ∈ dom vol → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol)))
50	19, 49	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ dom vol)
51		f1of 6803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)) → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
52	17, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
53		inss1 4203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℚ
54		qssre 12925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	53, 54	sstri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ
56		fss 6707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)) ∧ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
57	52, 55, 56	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
58	57	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
59		shftmbl 25446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺‘𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
60	50, 58, 59	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺‘𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
61	60, 18	fmptd 7089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶dom vol)
62	61	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol)
63	62	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol)
64		iunmbl 25461	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol → ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol)
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol)
66		mblss 25439	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∈ dom vol → ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ)
68		ovolss 25393	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ∧ ∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))
69	21, 67, 68	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))
70		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚))))
71		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))
72		mblss 25439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝑚) ∈ dom vol → (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ)
73	62, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ)
74	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	vitalilem4 25519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇‘𝑚)) = 0)
75	74, 2	eqeltrdi 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇‘𝑚)) ∈ ℝ)
76	74	mpteq2dva 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0))
77		fconstmpt 5703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
78		nnuz 12843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
79	78	xpeq1i 5667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
80	77, 79	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0) = ((ℤ≥‘1) × {0})
81	76, 80	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚))) = ((ℤ≥‘1) × {0}))
82	81	seqeq3d 13981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) = seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
83		1z 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
84		serclim0 15550	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
86	82, 85	eqbrtrdi 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) ⇝ 0)
87		seqex 13975	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) ∈ V
88		c0ex 11175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
89	87, 88	breldm 5875	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) ⇝ 0 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
90	86, 89	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
91	70, 71, 73, 75, 90	ovoliun2 25414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇‘𝑚)))
92	74	sumeq2dv 15675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇‘𝑚)) = Σ𝑚 ∈ ℕ 0)
93	78	eqimssi 4010	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
94	93	orci 865	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
95		sumz 15695	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0
97	92, 96	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇‘𝑚)) = 0)
98	91, 97	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ≤ 0)
99		ovolge0 25389	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))
100	67, 99	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))
101		ovolcl 25386	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚) ⊆ ℝ → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ∈ ℝ*)
102	67, 101	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ∈ ℝ*)
103		0xr 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
104		xrletri3 13121	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))))
105	102, 103, 104	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)))))
106	98, 100, 105	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇‘𝑚)) = 0)
107	69, 106	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
108	12, 107	mto 197	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Er wer 8671   / cqs 8673  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914  [,]cicc 13316  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659  vol*covol 25370  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  vitali  25521