MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vitalilem5 25136
Description: Lemma for vitali 25137. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
vitali.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
vitali.5 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑧,𝑆   π‘₯,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   ∼ ,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)
Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 11738 . . . 4 0 < 1
2 0re 11218 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 11216 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 11739 . . . . . 6 0 ≀ 1
5 ovolicc 25047 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1461 . . . . 5 (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0)
7 1m0e1 12335 . . . . 5 (1 βˆ’ 0) = 1
86, 7eqtri 2760 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 5175 . . 3 0 < (vol*β€˜(0[,]1))
108, 3eqeltri 2829 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 11337 . . 3 (0 < (vol*β€˜(0[,]1)) ↔ Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
129, 11mpbi 229 . 2 Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
15 vitali.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 25133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† (-1[,]2)))
2120simp2d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š))
2213vitalilem1 25132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∼ Er (0[,]1)
23 erdm 8715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∼ Er (0[,]1) β†’ dom ∼ = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ∼ = (0[,]1)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
2625, 14eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ ))
27 elqsn0 8782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((dom ∼ = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ )) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2824, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ∼ Er (0[,]1))
3029qsss 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) / ∼ ) βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3114, 30eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 βŠ† (0[,]1))
3433sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 7120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1))
4039frnd 6725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0[,]1))
41 unitssre 13478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) βŠ† ℝ
4240, 41sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
43 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4443elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
4542, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4645anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
47 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
4948ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol)))
5019, 49mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ dom vol)
51 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
5217, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
53 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† β„š
54 qssre 12945 . . . . . . . . . . . . 13 β„š βŠ† ℝ
5553, 54sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ
56 fss 6734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)) ∧ (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ) β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5752, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5857ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
59 shftmbl 25062 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6050, 58, 59syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6160, 18fmptd 7115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆdom vol)
6261ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6362ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
64 iunmbl 25077 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
66 mblss 25055 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
6765, 66syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
68 ovolss 25009 . . . 4 (((0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
6921, 67, 68syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
70 eqid 2732 . . . . . 6 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))))
71 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
72 mblss 25055 . . . . . . 7 ((π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7362, 72syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7413, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 25135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
7574, 2eqeltrdi 2841 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7674mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0))
77 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0)
78 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7978xpeq1i 5702 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8077, 79eqtr3i 2762 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• ↦ 0) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8176, 80eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))
8281seqeq3d 13976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})))
83 1z 12594 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
84 serclim0 15523 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0
8682, 85eqbrtrdi 5187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0)
87 seqex 13970 . . . . . . . 8 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ V
88 c0ex 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ V
8987, 88breldm 5908 . . . . . . 7 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0 β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9086, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9170, 71, 73, 75, 90ovoliun2 25030 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
9274sumeq2dv 15651 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ β„• 0)
9378eqimssi 4042 . . . . . . . 8 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
9493orci 863 . . . . . . 7 (β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin)
95 sumz 15670 . . . . . . 7 ((β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0)
9694, 95ax-mp 5 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0
9792, 96eqtrdi 2788 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
9891, 97breqtrd 5174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0)
99 ovolge0 25005 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
10067, 99syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
101 ovolcl 25002 . . . . . 6 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
10267, 101syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
103 0xr 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
104 xrletri3 13135 . . . . 5 (((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
105102, 103, 104sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
10698, 100, 105mpbir2and 711 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
10769, 106breqtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
10812, 107mto 196 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   Er wer 8702   / cqs 8704  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„•cn 12214  2c2 12269  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„šcq 12934  [,]cicc 13329  seqcseq 13968   ⇝ cli 15430  Ξ£csu 15634  vol*covol 24986  volcvol 24987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989
This theorem is referenced by:  vitali  25137
  Copyright terms: Public domain W3C validator