MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vitalilem5 25129
Description: Lemma for vitali 25130. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
vitali.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
vitali.5 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑧,𝑆   π‘₯,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   ∼ ,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)
Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 11736 . . . 4 0 < 1
2 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 11214 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 11737 . . . . . 6 0 ≀ 1
5 ovolicc 25040 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1462 . . . . 5 (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0)
7 1m0e1 12333 . . . . 5 (1 βˆ’ 0) = 1
86, 7eqtri 2761 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 5176 . . 3 0 < (vol*β€˜(0[,]1))
108, 3eqeltri 2830 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 11335 . . 3 (0 < (vol*β€˜(0[,]1)) ↔ Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
129, 11mpbi 229 . 2 Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
15 vitali.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 25126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† (-1[,]2)))
2120simp2d 1144 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š))
2213vitalilem1 25125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∼ Er (0[,]1)
23 erdm 8713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∼ Er (0[,]1) β†’ dom ∼ = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ∼ = (0[,]1)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
2625, 14eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ ))
27 elqsn0 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((dom ∼ = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ )) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2824, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ∼ Er (0[,]1))
3029qsss 8772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) / ∼ ) βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3114, 30eqsstrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 βŠ† (0[,]1))
3433sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1))
4039frnd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0[,]1))
41 unitssre 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) βŠ† ℝ
4240, 41sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
43 reex 11201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4443elpw2 5346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
4542, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4645anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
47 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
4948ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol)))
5019, 49mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ dom vol)
51 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
5217, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
53 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† β„š
54 qssre 12943 . . . . . . . . . . . . 13 β„š βŠ† ℝ
5553, 54sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ
56 fss 6735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)) ∧ (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ) β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5752, 55, 56sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5857ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
59 shftmbl 25055 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6050, 58, 59syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6160, 18fmptd 7114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆdom vol)
6261ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6362ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
64 iunmbl 25070 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
66 mblss 25048 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
6765, 66syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
68 ovolss 25002 . . . 4 (((0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
6921, 67, 68syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
70 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))))
71 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
72 mblss 25048 . . . . . . 7 ((π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7362, 72syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7413, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 25128 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
7574, 2eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7674mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0))
77 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0)
78 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7978xpeq1i 5703 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8077, 79eqtr3i 2763 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• ↦ 0) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8176, 80eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))
8281seqeq3d 13974 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})))
83 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
84 serclim0 15521 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0
8682, 85eqbrtrdi 5188 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0)
87 seqex 13968 . . . . . . . 8 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ V
88 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
8987, 88breldm 5909 . . . . . . 7 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0 β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9086, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9170, 71, 73, 75, 90ovoliun2 25023 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
9274sumeq2dv 15649 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ β„• 0)
9378eqimssi 4043 . . . . . . . 8 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
9493orci 864 . . . . . . 7 (β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin)
95 sumz 15668 . . . . . . 7 ((β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0)
9694, 95ax-mp 5 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0
9792, 96eqtrdi 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
9891, 97breqtrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0)
99 ovolge0 24998 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
10067, 99syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
101 ovolcl 24995 . . . . . 6 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
10267, 101syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
103 0xr 11261 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
104 xrletri3 13133 . . . . 5 (((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
105102, 103, 104sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
10698, 100, 105mpbir2and 712 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
10769, 106breqtrd 5175 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
10812, 107mto 196 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700   / cqs 8702  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  [,]cicc 13327  seqcseq 13966   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  vol*covol 24979  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  vitali  25130
  Copyright terms: Public domain W3C validator