MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem5 24776
Description: Lemma for vitali 24777. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / )
vitali.3 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
vitali.5 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝜑,𝑛,𝑥,𝑧   𝑧,𝑆   𝑥,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 11497 . . . 4 0 < 1
2 0re 10977 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 10975 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 11498 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 ovolicc 24687 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1460 . . . . 5 (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0)
7 1m0e1 12094 . . . . 5 (1 − 0) = 1
86, 7eqtri 2766 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 5101 . . 3 0 < (vol*‘(0[,]1))
108, 3eqeltri 2835 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 11096 . . 3 (0 < (vol*‘(0[,]1)) ↔ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
129, 11mpbi 229 . 2 ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / )
15 vitali.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 24773 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ (-1[,]2)))
2120simp2d 1142 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚))
2213vitalilem1 24772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Er (0[,]1)
23 erdm 8508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( Er (0[,]1) → dom = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom = (0[,]1)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2625, 14eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ))
27 elqsn0 8575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((dom = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / )) → 𝑧 ≠ ∅)
2824, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ≠ ∅)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 Er (0[,]1))
3029qsss 8567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((0[,]1) / ) ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3114, 30eqsstrid 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ⊆ (0[,]1))
3433sseld 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑆⟶(0[,]1))
4039frnd 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
41 unitssre 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
4240, 41sstrdi 3933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
43 reex 10962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4443elpw2 5269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4542, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4645anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
47 eldif 3897 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
4948ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ ran 𝐹 ∈ dom vol → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol)))
5019, 49mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ dom vol)
51 f1of 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)) → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
5217, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
53 inss1 4162 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℚ
54 qssre 12699 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ⊆ ℝ
5553, 54sstri 3930 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ
56 fss 6617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)) ∧ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
5752, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
5857ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
59 shftmbl 24702 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6050, 58, 59syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6160, 18fmptd 6988 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇:ℕ⟶dom vol)
6261ffvelrnda 6961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6362ralrimiva 3103 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
64 iunmbl 24717 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
66 mblss 24695 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
68 ovolss 24649 . . . 4 (((0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
6921, 67, 68syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
70 eqid 2738 . . . . . 6 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))))
71 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))
72 mblss 24695 . . . . . . 7 ((𝑇𝑚) ∈ dom vol → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7362, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7413, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 24775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
7574, 2eqeltrdi 2847 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) ∈ ℝ)
7674mpteq2dva 5174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0))
77 fconstmpt 5649 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
78 nnuz 12621 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
7978xpeq1i 5615 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
8077, 79eqtr3i 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0) = ((ℤ‘1) × {0})
8176, 80eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = ((ℤ‘1) × {0}))
8281seqeq3d 13729 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
83 1z 12350 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
84 serclim0 15286 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
8682, 85eqbrtrdi 5113 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0)
87 seqex 13723 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ V
88 c0ex 10969 . . . . . . . 8 0 ∈ V
8987, 88breldm 5817 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9086, 89syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9170, 71, 73, 75, 90ovoliun2 24670 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)))
9274sumeq2dv 15415 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = Σ𝑚 ∈ ℕ 0)
9378eqimssi 3979 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
9493orci 862 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
95 sumz 15434 . . . . . . 7 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0)
9694, 95ax-mp 5 . . . . . 6 Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0
9792, 96eqtrdi 2794 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
9891, 97breqtrd 5100 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0)
99 ovolge0 24645 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
10067, 99syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
101 ovolcl 24642 . . . . . 6 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
10267, 101syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
103 0xr 11022 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
104 xrletri3 12888 . . . . 5 (((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
105102, 103, 104sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
10698, 100, 105mpbir2and 710 . . 3 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0)
10769, 106breqtrd 5100 . 2 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
10812, 107mto 196 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  cdif 3884  cin 3886  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   ciun 4924   class class class wbr 5074  {copab 5136  cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   Fn wfn 6428  wf 6429  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495   / cqs 8497  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  cq 12688  [,]cicc 13082  seqcseq 13721  cli 15193  Σcsu 15397  vol*covol 24626  volcvol 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-ovol 24628  df-vol 24629
This theorem is referenced by:  vitali  24777
  Copyright terms: Public domain W3C validator