MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem5 24999
Description: Lemma for vitali 25000. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
vitali.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
vitali.5 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑧   𝑧,𝑆   π‘₯,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   ∼ ,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 11685 . . . 4 0 < 1
2 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 11163 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 11686 . . . . . 6 0 ≀ 1
5 ovolicc 24910 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1462 . . . . 5 (vol*β€˜(0[,]1)) = (1 βˆ’ 0)
7 1m0e1 12282 . . . . 5 (1 βˆ’ 0) = 1
86, 7eqtri 2761 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 5136 . . 3 0 < (vol*β€˜(0[,]1))
108, 3eqeltri 2830 . . . 4 (vol*β€˜(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 11284 . . 3 (0 < (vol*β€˜(0[,]1)) ↔ Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
129, 11mpbi 229 . 2 Β¬ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„š)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / ∼ )
15 vitali.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 24996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† (-1[,]2)))
2120simp2d 1144 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š))
2213vitalilem1 24995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∼ Er (0[,]1)
23 erdm 8664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∼ Er (0[,]1) β†’ dom ∼ = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ∼ = (0[,]1)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
2625, 14eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ ))
27 elqsn0 8731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((dom ∼ = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ∼ )) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2824, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ∼ Er (0[,]1))
3029qsss 8723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) / ∼ ) βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3114, 30eqsstrid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 βŠ† (0[,]1))
3433sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (𝑧 β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 7070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘§) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆ(0[,]1))
4039frnd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0[,]1))
41 unitssre 13425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) βŠ† ℝ
4240, 41sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
43 reex 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4443elpw2 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
4542, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4645anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
47 eldif 3924 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol))
4948ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ ran 𝐹 ∈ dom vol β†’ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ βˆ– dom vol)))
5019, 49mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ dom vol)
51 f1of 6788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„š ∩ (-1[,]1)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
5217, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)))
53 inss1 4192 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† β„š
54 qssre 12892 . . . . . . . . . . . . 13 β„š βŠ† ℝ
5553, 54sstri 3957 . . . . . . . . . . . 12 (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ
56 fss 6689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ(β„š ∩ (-1[,]1)) ∧ (β„š ∩ (-1[,]1)) βŠ† ℝ) β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5752, 55, 56sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
5857ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
59 shftmbl 24925 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6050, 58, 59syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 βˆ’ (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6160, 18fmptd 7066 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆdom vol)
6261ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6362ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
64 iunmbl 24940 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol)
66 mblss 24918 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
6765, 66syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
68 ovolss 24872 . . . 4 (((0[,]1) βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) ∧ βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
6921, 67, 68syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
70 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))))
71 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
72 mblss 24918 . . . . . . 7 ((π‘‡β€˜π‘š) ∈ dom vol β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7362, 72syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ)
7413, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 24998 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
7574, 2eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7674mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0))
77 fconstmpt 5698 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = (π‘š ∈ β„• ↦ 0)
78 nnuz 12814 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7978xpeq1i 5663 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {0}) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8077, 79eqtr3i 2763 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• ↦ 0) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})
8176, 80eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š))) = ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))
8281seqeq3d 13923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) = seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})))
83 1z 12541 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
84 serclim0 15468 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0
8682, 85eqbrtrdi 5148 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0)
87 seqex 13917 . . . . . . . 8 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ V
88 c0ex 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ V
8987, 88breldm 5868 . . . . . . 7 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ⇝ 0 β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9086, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
9170, 71, 73, 75, 90ovoliun2 24893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)))
9274sumeq2dv 15596 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ β„• 0)
9378eqimssi 4006 . . . . . . . 8 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
9493orci 864 . . . . . . 7 (β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin)
95 sumz 15615 . . . . . . 7 ((β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0)
9694, 95ax-mp 5 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ β„• 0 = 0
9792, 96eqtrdi 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• (vol*β€˜(π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
9891, 97breqtrd 5135 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0)
99 ovolge0 24868 . . . . 5 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
10067, 99syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))
101 ovolcl 24865 . . . . . 6 (βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
10267, 101syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
103 0xr 11210 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
104 xrletri3 13082 . . . . 5 (((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
105102, 103, 104sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0 ↔ ((vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)))))
10698, 100, 105mpbir2and 712 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘š ∈ β„• (π‘‡β€˜π‘š)) = 0)
10769, 106breqtrd 5135 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(0[,]1)) ≀ 0)
10812, 107mto 196 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109  {copab 5171   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Er wer 8651   / cqs 8653  Fincfn 8889  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  β„•cn 12161  2c2 12216  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  [,]cicc 13276  seqcseq 13915   ⇝ cli 15375  Ξ£csu 15579  vol*covol 24849  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  vitali  25000
  Copyright terms: Public domain W3C validator