Theorem 0nsr 10970

Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0nsr	⊢ ¬ ∅ ∈ R

Proof of Theorem 0nsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		enrer 10954	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
3		erdm 8632	. . . . . 6 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ~R = (P × P)
5		elqsn0 8708	. . . . 5 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ ∅ ∈ ((P × P) / ~R )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 690	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ((P × P) / ~R ) → ∅ ≠ ∅)
7		df-nr 10947	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (∅ ∈ R → ∅ ≠ ∅)
9	8	necon2bi 2958	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ R)
10	1, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280   × cxp 5612  dom cdm 5614   Er wer 8619   / cqs 8621  Pcnp 10750   ~_R cer 10755  Rcnr 10756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-ni 10763  df-pli 10764  df-mi 10765  df-lti 10766  df-plpq 10799  df-mpq 10800  df-ltpq 10801  df-enq 10802  df-nq 10803  df-erq 10804  df-plq 10805  df-mq 10806  df-1nq 10807  df-rq 10808  df-ltnq 10809  df-np 10872  df-plp 10874  df-ltp 10876  df-enr 10946  df-nr 10947

This theorem is referenced by:  dmaddsr  10976  dmmulsr  10977  addasssr  10979  mulasssr  10981  distrsr  10982  ltasr  10991