Theorem 0nsr 10988

Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0nsr	⊢ ¬ ∅ ∈ R

Proof of Theorem 0nsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		enrer 10972	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
3		erdm 8643	. . . . . 6 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ~R = (P × P)
5		elqsn0 8719	. . . . 5 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ ∅ ∈ ((P × P) / ~R )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 690	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ((P × P) / ~R ) → ∅ ≠ ∅)
7		df-nr 10965	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleq2s 2852	. . 3 ⊢ (∅ ∈ R → ∅ ≠ ∅)
9	8	necon2bi 2960	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ R)
10	1, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283   × cxp 5620  dom cdm 5622   Er wer 8630   / cqs 8632  Pcnp 10768   ~_R cer 10773  Rcnr 10774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-ni 10781  df-pli 10782  df-mi 10783  df-lti 10784  df-plpq 10817  df-mpq 10818  df-ltpq 10819  df-enq 10820  df-nq 10821  df-erq 10822  df-plq 10823  df-mq 10824  df-1nq 10825  df-rq 10826  df-ltnq 10827  df-np 10890  df-plp 10892  df-ltp 10894  df-enr 10964  df-nr 10965

This theorem is referenced by:  dmaddsr  10994  dmmulsr  10995  addasssr  10997  mulasssr  10999  distrsr  11000  ltasr  11009