Theorem 0nsr 11059

Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0nsr	⊢ ¬ ∅ ∈ R

Proof of Theorem 0nsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		enrer 11043	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
3		erdm 8701	. . . . . 6 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ~R = (P × P)
5		elqsn0 8778	. . . . 5 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ ∅ ∈ ((P × P) / ~R )) → ∅ ≠ ∅)
6	4, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ((P × P) / ~R ) → ∅ ≠ ∅)
7		df-nr 11036	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ (∅ ∈ R → ∅ ≠ ∅)
9	8	necon2bi 2988	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ R)
10	1, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   × cxp 5659  dom cdm 5661   Er wer 8687   / cqs 8689  Pcnp 10839   ~_R cer 10844  Rcnr 10845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-ni 10852  df-pli 10853  df-mi 10854  df-lti 10855  df-plpq 10888  df-mpq 10889  df-ltpq 10890  df-enq 10891  df-nq 10892  df-erq 10893  df-plq 10894  df-mq 10895  df-1nq 10896  df-rq 10897  df-ltnq 10898  df-np 10961  df-plp 10963  df-ltp 10965  df-enr 11035  df-nr 11036

This theorem is referenced by:  dmaddsr  11065  dmmulsr  11066  addasssr  11068  mulasssr  11070  distrsr  11071  ltasr  11080