Theorem prjspnn0 43745

Description: A projective point is nonempty. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnn0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁 ℙrojn 𝐾)
prjspnn0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnn0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prjspnn0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem prjspnn0

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))}
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))
6		prjspnn0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	prjspner 43741	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} Er ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
8		erdm 8732	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} Er ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) → dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
10		prjspnn0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		prjspnn0.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑁 ℙrojn 𝐾)
12		prjspnn0.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 6	prjspnval2 43740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ℙrojn 𝐾) = (((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))}))
14	11, 13	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))}))
15	10, 14	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))}))
16		elqsn0 8809	. 2 ⊢ ((dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))} = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝐴 ∈ (((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))𝑦))})) → 𝐴 ≠ ∅)
17	9, 15, 16	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4584  {copab 5166  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   Er wer 8718   / cqs 8720  0cc0 11204  ℕ₀cn0 12610  ...cfz 13643  Basecbs 17393   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  DivRingcdr 20986   freeLMod cfrlm 22058   ℙroj_n cprjspn 43736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-subrg 20828  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lvec 21384  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-prjsp 43724  df-prjspn 43737

This theorem is used by:  prjcrv0  43763