Theorem f0dom0 6772

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 6696	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∅⟶𝑌))
2		f0bi 6771	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 ↔ 𝐹 = ∅)
3	2	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 → 𝐹 = ∅)
4	1, 3	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 = ∅))
5	4	com12 32	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ → 𝐹 = ∅))
6		feq1 6695	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ ∅:𝑋⟶𝑌))
7		fdm 6723	. . . . 5 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → dom ∅ = 𝑋)
8		dm0 5918	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr3di 2788	. . . 4 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅)
10	6, 9	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
11	10	com12 32	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝐹 = ∅ → 𝑋 = ∅))
12	5, 11	impbid 211	1 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  ∅c0 4321  dom cdm 5675  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  pfxn0  14632  elfrlmbasn0  21302  mavmulsolcl  22035  fdomne0  47418