Theorem f0dom0 6769

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 6691	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∅⟶𝑌))
2		f0bi 6768	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 ↔ 𝐹 = ∅)
3	2	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 → 𝐹 = ∅)
4	1, 3	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 = ∅))
5	4	com12 33	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ → 𝐹 = ∅))
6		feq1 6690	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ ∅:𝑋⟶𝑌))
7		fdm 6722	. . . . 5 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → dom ∅ = 𝑋)
8		dm0 5915	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr3di 2816	. . . 4 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅)
10	6, 9	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
11	10	com12 33	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝐹 = ∅ → 𝑋 = ∅))
12	5, 11	impbid 215	1 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∅c0 4289  dom cdm 5666  ⟶wf 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is used by:  pfxn0  14748  elfrlmbasn0  21950  mavmulsolcl  22745  wrdpmtrlast  33444  fdomne0  49669