MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxn0 14634
Description: A prefix consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

Proof of Theorem pfxn0
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 13670 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
2 ne0i 4327 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐿) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
31, 2sylbir 234 . . 3 (𝐿 ∈ ℕ → (0..^𝐿) ≠ ∅)
433ad2ant2 1131 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 12477 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
8 lencl 14481 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
983ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
11 elfz2nn0 13590 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
127, 9, 10, 11syl3anbrc 1340 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13 pfxf 14628 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
145, 12, 13syl2anc 583 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
15 f0dom0 6766 . . . . 5 ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((0..^𝐿) = ∅ ↔ (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
1615bicomd 222 . . . 4 ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
1714, 16syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
1817necon3bid 2977 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ (0..^𝐿) ≠ ∅))
194, 18mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  c0 4315   class class class wbr 5139  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  cle 11247  cn 12210  0cn0 12470  ...cfz 13482  ..^cfzo 13625  chash 14288  Word cword 14462   prefix cpfx 14618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-substr 14589  df-pfx 14619
This theorem is referenced by:  wwlksnred  29618  clwlkclwwlk  29727  clwwlkinwwlk  29765  pfxlsw2ccat  32586
  Copyright terms: Public domain W3C validator