Theorem pfxn0 13795

Description: A prefix consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

Proof of Theorem pfxn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbfzo0 12827	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
2		ne0i 4149	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
3	1, 2	sylbir 227	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (0..^𝐿) ≠ ∅)
4	3	3ad2ant2 1125	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
5		simp1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		nnnn0 11650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
8		lencl 13621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		simp3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
11		elfz2nn0 12749	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anbrc 1400	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		pfxf 13789	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
14	5, 12, 13	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
15		f0dom0 6339	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((0..^𝐿) = ∅ ↔ (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
16	15	bicomd 215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
18	17	necon3bid 3013	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ (0..^𝐿) ≠ ∅))
19	4, 18	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∅c0 4141   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  ♯chash 13435  Word cword 13599   prefix cpfx 13779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-substr 13731  df-pfx 13780

This theorem is referenced by:  wwlksnred  27252  clwlkclwwlk  27382  clwwlkinwwlk  27429