Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxn0 14096
 Description: A prefix consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

Proof of Theorem pfxn0
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 13127 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
2 ne0i 4234 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐿) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
31, 2sylbir 238 . . 3 (𝐿 ∈ ℕ → (0..^𝐿) ≠ ∅)
433ad2ant2 1132 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
5 simp1 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 11942 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
8 lencl 13933 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
983ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
11 elfz2nn0 13048 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
127, 9, 10, 11syl3anbrc 1341 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13 pfxf 14090 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
145, 12, 13syl2anc 588 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
15 f0dom0 6549 . . . . 5 ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((0..^𝐿) = ∅ ↔ (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
1615bicomd 226 . . . 4 ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
1714, 16syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
1817necon3bid 2996 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ (0..^𝐿) ≠ ∅))
194, 18mpbird 260 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∅c0 4226   class class class wbr 5033  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10576   ≤ cle 10715  ℕcn 11675  ℕ0cn0 11935  ...cfz 12940  ..^cfzo 13083  ♯chash 13741  Word cword 13914   prefix cpfx 14080 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742  df-word 13915  df-substr 14051  df-pfx 14081 This theorem is referenced by:  wwlksnred  27778  clwlkclwwlk  27887  clwwlkinwwlk  27925  pfxlsw2ccat  30749
 Copyright terms: Public domain W3C validator