Theorem f0bi 6725

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6670	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6631	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 = ∅)
4		f0 6723	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶𝑋
5		feq1 6648	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
6	4, 5	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
7	3, 6	impbii 209	1 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∅c0 4287   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504

This theorem is referenced by:  f0dom0  6726  mapdm0  8791  fset0  8803  0map0sn0  8835  griedg0ssusgr  29350  rgrusgrprc  29675  vieta  33756  sticksstones11  42523  2ffzoeq  47684  f102g  49208  homf0  49365  0funcg2  49440  0funcALT  49444