Theorem f0bi 6762

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6706	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6667	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 = ∅)
4		f0 6760	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶𝑋
5		feq1 6684	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
6	4, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
7	3, 6	impbii 212	1 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∅c0 4282   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is used by:  f0dom0  6763  mapdm0  8845  fset0  8859  0map0sn0  8896  griedg0ssusgr  29733  rgrusgrprc  30057  vieta  34098  sticksstones11  43030  2ffzoeq  48224  f102g  49788  homf0  49943  0funcg2  50018  0funcALT  50022