Theorem f0bi 6790

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6734	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6695	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 = ∅)
4		f0 6788	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶𝑋
5		feq1 6712	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
6	4, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
7	3, 6	impbii 212	1 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∅c0 4281   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565

This theorem is used by:  f0dom0  6791  mapdm0  8893  fset0  8907  0map0sn0  8944  griedg0ssusgr  29879  rgrusgrprc  30203  vieta  34295  sticksstones11  43409  2ffzoeq  48613  f102g  50178  homf0  50338  0funcg2  50414  0funcALT  50418