Theorem f0bi 6766

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6710	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 6671	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 = ∅)
4		f0 6764	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶𝑋
5		feq1 6688	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
6	4, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
7	3, 6	impbii 212	1 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∅c0 4278   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543

This theorem is used by:  f0dom0  6767  mapdm0  8866  fset0  8880  0map0sn0  8917  griedg0ssusgr  29852  rgrusgrprc  30176  vieta  34259  sticksstones11  43300  2ffzoeq  48492  f102g  50057  homf0  50217  0funcg2  50293  0funcALT  50297