MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulsolcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulsolcl 21923
Description: Every solution of the equation ๐ดโˆ—๐‘‹ = ๐‘Œ for a matrix ๐ด and a vector ๐ต is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmuldm.c ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
mavmuldm.d ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
mavmuldm.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mavmulsolcl.e ๐ธ = (๐ต โ†‘m ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โ†’ (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
2 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
32adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
4 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
5 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
63, 4, 53jca 1129 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
76adantl 483 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
128, 9, 10, 11mavmuldm 21922 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
14 simpl 484 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)
1514intnand 490 . . . . 5 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
16 ndmovg 7541 . . . . 5 ((dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ…)
1713, 15, 16syl2anc 585 . . . 4 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ…)
18 eqeq1 2737 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†” โˆ… = ๐‘Œ))
19 elmapi 8793 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘€) โ†’ ๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต)
20 f0dom0 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘€ = โˆ… โ†” ๐‘Œ = โˆ…))
2120biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘€ = โˆ…))
2221necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘€ โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
24233ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘€) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 ๐ธ = (๐ต โ†‘m ๐‘€)
2927, 28eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
3029impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
3130impcom 409 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)
32 eqneqall 2951 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ (๐‘Œ โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3433adantl 483 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3534com12 32 . . . . . . 7 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3635eqcoms 2741 . . . . . 6 (โˆ… = ๐‘Œ โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3718, 36syl6bi 253 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
3837com23 86 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
4039ex 414 . 2 (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โ†’ (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
411, 40pm2.61i 182 1 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4286  โŸจcop 4596   ร— cxp 5635  dom cdm 5637  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by:  slesolvec  22051  cramerimplem2  22056
  Copyright terms: Public domain W3C validator