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Theorem mavmulsolcl 21900
Description: Every solution of the equation 𝐴𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e 𝐸 = (𝐵m 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
2 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → 𝑅𝑉)
32adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑅𝑉)
4 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
63, 4, 53jca 1128 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
76adantl 482 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
128, 9, 10, 11mavmuldm 21899 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14 simpl 483 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ 𝑋𝐷)
1514intnand 489 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷))
16 ndmovg 7537 . . . . 5 ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
1713, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18 eqeq1 2740 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑀) → 𝑌:𝑀𝐵)
20 f0dom0 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
2120biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
2221necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
24233ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌:𝑀𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑀) → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝐵m 𝑀)
2927, 28eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐸 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
3029impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
3130impcom 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32 eqneqall 2954 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋𝐷))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3433adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3534com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3635eqcoms 2744 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3718, 36syl6bi 252 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷)))
3837com23 86 . . . 4 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
4039ex 413 . 2 𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
411, 40pm2.61i 182 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  c0 4282  cop 4592   × cxp 5631  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083   maVecMul cmvmul 21889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-mvmul 21890
This theorem is referenced by:  slesolvec  22028  cramerimplem2  22033
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