MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulsolcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulsolcl 22052
Description: Every solution of the equation ๐ดโˆ—๐‘‹ = ๐‘Œ for a matrix ๐ด and a vector ๐ต is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmuldm.c ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
mavmuldm.d ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
mavmuldm.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mavmulsolcl.e ๐ธ = (๐ต โ†‘m ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โ†’ (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
2 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
32adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
4 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
5 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
63, 4, 53jca 1128 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
76adantl 482 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
128, 9, 10, 11mavmuldm 22051 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
14 simpl 483 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)
1514intnand 489 . . . . 5 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
16 ndmovg 7589 . . . . 5 ((dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ…)
1713, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ…)
18 eqeq1 2736 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†” โˆ… = ๐‘Œ))
19 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘€) โ†’ ๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต)
20 f0dom0 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘€ = โˆ… โ†” ๐‘Œ = โˆ…))
2120biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘€ = โˆ…))
2221necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘€ โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
24233ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ:๐‘€โŸถ๐ต โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘€) โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 ๐ธ = (๐ต โ†‘m ๐‘€)
2927, 28eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)))
3029impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
3130impcom 408 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)
32 eqneqall 2951 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ (๐‘Œ โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3433adantl 482 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3534com12 32 . . . . . . 7 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3635eqcoms 2740 . . . . . 6 (โˆ… = ๐‘Œ โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
3718, 36syl6bi 252 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
3837com23 86 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘‹) = โˆ… โ†’ ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
4039ex 413 . 2 (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท โ†’ (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)))
411, 40pm2.61i 182 1 (((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4322  โŸจcop 4634   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17143   maVecMul cmvmul 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-mvmul 22042
This theorem is referenced by:  slesolvec  22180  cramerimplem2  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator