Theorem mavmulsolcl 21420

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mavmulsolcl	⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
2		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
7	6	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8		mavmuldm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		mavmuldm.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
10		mavmuldm.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
11		mavmuldm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
12	8, 9, 10, 11	mavmuldm 21419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐷)
15	14	intnand 492	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
16		ndmovg 7380	. . . . 5 ⊢ ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
17	13, 15, 16	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19		elmapi 8519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → 𝑌:𝑀⟶𝐵)
20		f0dom0 6592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
21	20	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
22	21	necon3d 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28		mavmulsolcl.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)
29	27, 28	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
30	29	impcom 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
31	30	impcom 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32		eqneqall 2946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
34	33	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
35	34	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
36	35	eqcoms 2742	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
37	18, 36	syl6bi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷)))
38	37	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
39	17, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))
40	39	ex 416	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
41	1, 40	pm2.61i 185	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∅c0 4227  ⟨cop 4537   × cxp 5538  dom cdm 5540  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ↑_m cmap 8497  Fincfn 8615  Basecbs 16684   maVecMul cmvmul 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-map 8499  df-mvmul 21410

This theorem is referenced by:  slesolvec  21548  cramerimplem2  21553