Theorem mavmulsolcl 22773

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mavmulsolcl	⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 29	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
2		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8		mavmuldm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		mavmuldm.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
10		mavmuldm.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
11		mavmuldm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
12	8, 9, 10, 11	mavmuldm 22772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
13	7, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐷)
15	14	intnand 494	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
16		ndmovg 7597	. . . . 5 ⊢ ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19		elmapi 8848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → 𝑌:𝑀⟶𝐵)
20		f0dom0 6759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
21	20	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
22	21	necon3d 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
23	22	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
25	24	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
26	25	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	19, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28		mavmulsolcl.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)
29	27, 28	eleq2s 2878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
30	29	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
31	30	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32		eqneqall 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
35	34	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
36	35	eqcoms 2768	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
37	18, 36	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷)))
38	37	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
39	17, 38	mpcom 39	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))
40	39	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
41	1, 40	pm2.61i 184	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   × cxp 5653  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  Basecbs 17301   maVecMul cmvmul 22762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828  df-mvmul 22763

This theorem is used by:  slesolvec  22904  cramerimplem2  22909