Theorem mavmulsolcl 22507

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mavmulsolcl	⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
2		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8		mavmuldm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		mavmuldm.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
10		mavmuldm.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
11		mavmuldm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
12	8, 9, 10, 11	mavmuldm 22506	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐷)
15	14	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
16		ndmovg 7551	. . . . 5 ⊢ ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
17	13, 15, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19		elmapi 8798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → 𝑌:𝑀⟶𝐵)
20		f0dom0 6726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
21	20	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
22	21	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	19, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28		mavmulsolcl.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)
29	27, 28	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
30	29	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
31	30	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
34	33	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
35	34	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
36	35	eqcoms 2745	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
37	18, 36	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷)))
38	37	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
39	17, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
41	1, 40	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  ⟨cop 4588   × cxp 5630  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  Basecbs 17148   maVecMul cmvmul 22496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777  df-mvmul 22497

This theorem is referenced by:  slesolvec  22635  cramerimplem2  22640