Theorem mavmulsolcl 22708

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mavmulsolcl	⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 29	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
2		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
7	6	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8		mavmuldm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		mavmuldm.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
10		mavmuldm.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
11		mavmuldm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
12	8, 9, 10, 11	mavmuldm 22707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
13	7, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐷)
15	14	intnand 493	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
16		ndmovg 7593	. . . . 5 ⊢ ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
17	13, 15, 16	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19		elmapi 8842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → 𝑌:𝑀⟶𝐵)
20		f0dom0 6762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
21	20	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
22	21	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
23	22	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀⟶𝐵 → 𝑌 ≠ ∅))
25	24	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
26	25	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌:𝑀⟶𝐵 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	19, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑀) → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28		mavmulsolcl.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (𝐵 ↑m 𝑀)
29	27, 28	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
30	29	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
31	30	impcom 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32		eqneqall 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
33	31, 32	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
34	33	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐷))
35	34	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
36	35	eqcoms 2771	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷))
37	18, 36	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → 𝑋 ∈ 𝐷)))
38	37	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
39	17, 38	mpcom 39	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))
40	39	ex 417	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷)))
41	1, 40	pm2.61i 184	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ⟨cop 4595   × cxp 5659  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17264   maVecMul cmvmul 22697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-mvmul 22698

This theorem is referenced by:  slesolvec  22836  cramerimplem2  22841