MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulsolcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulsolcl 20879
Description: Every solution of the equation 𝐴𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e 𝐸 = (𝐵𝑚 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
2 simpl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → 𝑅𝑉)
32adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑅𝑉)
4 simpl1 1172 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5 simpl2 1173 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
63, 4, 53jca 1109 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
76adantl 474 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
128, 9, 10, 11mavmuldm 20878 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14 simpl 475 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ 𝑋𝐷)
1514intnand 481 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷))
16 ndmovg 7145 . . . . 5 ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
1713, 15, 16syl2anc 576 . . . 4 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18 eqeq1 2775 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19 elmapi 8226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑀) → 𝑌:𝑀𝐵)
20 f0dom0 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
2120biimprd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
2221necon3d 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
24233ad2ant3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌:𝑀𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑀) → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝐵𝑚 𝑀)
2927, 28eleq2s 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐸 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
3029impcom 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
3130impcom 399 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32 eqneqall 2971 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋𝐷))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3433adantl 474 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3534com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3635eqcoms 2779 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3718, 36syl6bi 245 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷)))
3837com23 86 . . . 4 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
4039ex 405 . 2 𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
411, 40pm2.61i 177 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  c0 4172  cop 4441   × cxp 5401  dom cdm 5403  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  𝑚 cmap 8204  Fincfn 8304  Basecbs 16337   maVecMul cmvmul 20868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-map 8206  df-mvmul 20869
This theorem is referenced by:  slesolvec  21007  cramerimplem2  21012
  Copyright terms: Public domain W3C validator