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Theorem mavmulsolcl 21810
Description: Every solution of the equation 𝐴𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e 𝐸 = (𝐵m 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
2 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → 𝑅𝑉)
32adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑅𝑉)
4 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
63, 4, 53jca 1128 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
76adantl 483 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
128, 9, 10, 11mavmuldm 21809 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14 simpl 484 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ 𝑋𝐷)
1514intnand 490 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷))
16 ndmovg 7526 . . . . 5 ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
1713, 15, 16syl2anc 585 . . . 4 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18 eqeq1 2741 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19 elmapi 8717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑀) → 𝑌:𝑀𝐵)
20 f0dom0 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
2120biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
2221necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
24233ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌:𝑀𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑀) → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝐵m 𝑀)
2927, 28eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐸 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
3029impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
3130impcom 409 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32 eqneqall 2952 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋𝐷))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3433adantl 483 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3534com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3635eqcoms 2745 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3718, 36syl6bi 253 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷)))
3837com23 86 . . . 4 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
4039ex 414 . 2 𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
411, 40pm2.61i 182 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  c0 4277  cop 4587   × cxp 5625  dom cdm 5627  wf 6484  cfv 6488  (class class class)co 7346  m cmap 8695  Fincfn 8813  Basecbs 17014   maVecMul cmvmul 21799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-map 8697  df-mvmul 21800
This theorem is referenced by:  slesolvec  21938  cramerimplem2  21943
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