Theorem fdomne0 45793

Description: A function with non-empty domain is non-empty and has non-empty codomain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fdomne0	⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Proof of Theorem fdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0dom0 6581	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
2	1	necon3bid 2976	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
3	2	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
4		feq3 6506	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:𝑋⟶∅))
5		f00 6579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
6	5	simprbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
7	4, 6	syl6bi 256	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
8		nne 2936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
9	7, 8	syl6ibr 255	. . . 4 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅))
10		imnan 403	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
12	11	necon2ai 2961	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)
13	3, 12	jca 515	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ≠ wne 2932  ∅c0 4223  ⟶wf 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362

This theorem is referenced by:  fullthinc  45943