Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdomne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdomne0 48759
Description: A function with non-empty domain is non-empty and has non-empty codomain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
fdomne0 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Proof of Theorem fdomne0
StepHypRef Expression
1 f0dom0 6792 . . . 4 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
21necon3bid 2985 . . 3 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
32biimpa 476 . 2 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
4 feq3 6718 . . . . . 6 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝐹:𝑋⟶∅))
5 f00 6790 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
65simprbi 496 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
74, 6biimtrdi 253 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝑋 = ∅))
8 nne 2944 . . . . 5 𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
97, 8imbitrrdi 252 . . . 4 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅))
10 imnan 399 . . . 4 ((𝐹:𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅))
119, 10sylib 218 . . 3 (𝑌 = ∅ → ¬ (𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅))
1211necon2ai 2970 . 2 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)
133, 12jca 511 1 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wne 2940  c0 4333  wf 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565
This theorem is referenced by:  fullthinc  49099
  Copyright terms: Public domain W3C validator