Theorem fdomne0 49325

Description: A function with non-empty domain is non-empty and has non-empty codomain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fdomne0	⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Proof of Theorem fdomne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0dom0 6724	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
2	1	necon3bid 2976	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
3	2	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
4		feq3 6648	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:𝑋⟶∅))
5		f00 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
6	5	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
7	4, 6	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
8		nne 2936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
9	7, 8	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅))
10		imnan 399	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
11	9, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑌 = ∅ → ¬ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
12	11	necon2ai 2961	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)
13	3, 12	jca 511	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fullthinc  49925