Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdomne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdomne0 48680
Description: A function with non-empty domain is non-empty and has non-empty codomain. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
fdomne0 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))

Proof of Theorem fdomne0
StepHypRef Expression
1 f0dom0 6793 . . . 4 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
21necon3bid 2983 . . 3 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
32biimpa 476 . 2 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
4 feq3 6719 . . . . . 6 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝐹:𝑋⟶∅))
5 f00 6791 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
65simprbi 496 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
74, 6biimtrdi 253 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝑋 = ∅))
8 nne 2942 . . . . 5 𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
97, 8imbitrrdi 252 . . . 4 (𝑌 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅))
10 imnan 399 . . . 4 ((𝐹:𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅))
119, 10sylib 218 . . 3 (𝑌 = ∅ → ¬ (𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅))
1211necon2ai 2968 . 2 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)
133, 12jca 511 1 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ≠ ∅) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wne 2938  c0 4339  wf 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567
This theorem is referenced by:  fullthinc  48846
  Copyright terms: Public domain W3C validator