Theorem f102g 48840

Description: A function that maps the empty set to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f102g	⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f102g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 6667	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
2	1	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:∅⟶𝐵)
3		f0bi 6743	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
4		f10 6833	. . . . 5 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐵
5		f1eq1 6751	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐵 ↔ ∅:∅–1-1→𝐵))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐵)
7	3, 6	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 → 𝐹:∅–1-1→𝐵)
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:∅–1-1→𝐵)
9		f1eq2 6752	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:∅–1-1→𝐵))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:∅–1-1→𝐵))
11	8, 10	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∅c0 4296  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516

This theorem is referenced by:  f1mo  48841