Theorem f1eq1 6771

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 6685	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
2		cnveq 5851	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ◡𝐹 = ◡𝐺)
3	2	funeqd 6559	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡𝐺))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)))
5		df-f1 6542	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
6		df-f1 6542	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
7	4, 5, 6	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542

This theorem is used by:  f1oeq1  6810  f1eq123d  6814  fo00  6859  f1prex  7290  f1iun  7954  tposf12  8261  oacomf1olem  8565  f1dom4g  8985  f1dom3g  8987  f1domg  8991  dom3d  9014  domtr  9027  0domg  9116  domssex2  9149  marypha1lem  9418  fseqenlem1  10096  dfac12lem2  10216  dfac12lem3  10217  ackbij2  10313  fin23lem28  10411  fin23lem32  10415  fin23lem34  10417  fin23lem35  10418  fin23lem41  10423  iundom2g  10617  pwfseqlem5  10741  hashf1lem1  14593  hashf1lem2  14594  hashf1  14595  4sqlem11  17126  injsubmefmnd  19086  conjsubgen  19458  sylow1lem2  19806  sylow2blem1  19827  hauspwpwf1  24299  oldfib  28756  istrkg2ld  28915  axlowdim  29532  sizusglecusg  30037  specval  32493  aciunf1lem  33249  zrhchr  34599  qqhre  34645  vonf1oonf1  35876  hashnexinj  43158  eldioph2lem2  43751  meadjiunlem  47444  fcoresf1b  48109  fundcmpsurbijinjpreimafv  48458  fundcmpsurinjpreimafv  48459  fundcmpsurinjimaid  48462  f1sn2g  49930  f102g  49931