MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1eq1 6278
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 6204 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))
2 cnveq 5464 . . . 4 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32funeqd 6090 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐺))
41, 3anbi12d 624 . 2 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹) ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)))
5 df-f1 6073 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
6 df-f1 6073 . 2 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
74, 5, 63bitr4g 305 1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  ccnv 5276  Fun wfun 6062  wf 6064  1-1wf1 6065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073
This theorem is referenced by:  f1oeq1  6310  f1eq123d  6314  fo00  6355  f1prex  6731  fun11iun  7324  tposf12  7580  oacomf1olem  7849  f1dom2g  8178  f1domg  8180  dom3d  8202  domtr  8213  domssex2  8327  1sdom  8370  marypha1lem  8546  fseqenlem1  9098  dfac12lem2  9219  dfac12lem3  9220  ackbij2  9318  fin23lem28  9415  fin23lem32  9419  fin23lem34  9421  fin23lem35  9422  fin23lem41  9427  iundom2g  9615  pwfseqlem5  9738  hashf1lem1  13440  hashf1lem2  13441  hashf1  13442  4sqlem11  15940  conjsubgen  17959  sylow1lem2  18280  sylow2blem1  18301  hauspwpwf1  22070  istrkg2ld  25650  axlowdim  26132  sizusglecusg  26650  specval  29148  aciunf1lem  29847  zrhchr  30402  qqhre  30446  eldioph2lem2  37934  meadjiunlem  41251
  Copyright terms: Public domain W3C validator