Theorem f1eq1 6803

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1𝐵))

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 6717	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
2		cnveq 5863	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ◡𝐹 = ◡𝐺)
3	2	funeqd 6589	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡𝐺))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)))
5		df-f1 6571	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
6		df-f1 6571	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
7	4, 5, 6	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ^◡ccnv 5657  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571

This theorem is used by:  f1oeq1  6842  f1eq123d  6846  fo00  6892  f1prex  7323  f1iun  7990  tposf12  8306  oacomf1olem  8610  f1dom4g  9030  f1dom3g  9032  f1domg  9036  dom3d  9059  domtr  9072  0domg  9161  domssex2  9194  marypha1lem  9462  fseqenlem1  10142  dfac12lem2  10262  dfac12lem3  10263  ackbij2  10359  fin23lem28  10457  fin23lem32  10461  fin23lem34  10463  fin23lem35  10464  fin23lem41  10469  iundom2g  10663  pwfseqlem5  10787  hashf1lem1  14641  hashf1lem2  14642  hashf1  14643  4sqlem11  17177  injsubmefmnd  19143  conjsubgen  19515  sylow1lem2  19864  sylow2blem1  19885  hauspwpwf1  24361  oldfib  28820  istrkg2ld  28979  axlowdim  29596  sizusglecusg  30101  specval  32557  aciunf1lem  33354  zrhchr  34717  qqhre  34763  vonf1oonf1  36084  onf1oracwevd  36093  onprcf1of1orad  36094  onprcf1of1orbd  36095  onprcf1of1ord  36096  hashnexinj  43444  eldioph2lem2  44038  meadjiunlem  47748  fcoresf1b  48413  fundcmpsurbijinjpreimafv  48762  fundcmpsurinjpreimafv  48763  fundcmpsurinjimaid  48766  f1sn2g  50293  f102g  50294