MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1eq1 6799
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 6716 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))
2 cnveq 5884 . . . 4 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32funeqd 6588 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐺))
41, 3anbi12d 632 . 2 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹) ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)))
5 df-f1 6566 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
6 df-f1 6566 . 2 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
74, 5, 63bitr4g 314 1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  ccnv 5684  Fun wfun 6555  wf 6557  1-1wf1 6558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566
This theorem is referenced by:  f1oeq1  6836  f1eq123d  6840  fo00  6884  f1prex  7304  f1iun  7968  tposf12  8276  oacomf1olem  8602  f1dom4g  9006  f1dom3g  9008  f1domg  9012  dom3d  9034  domtr  9047  0domg  9140  domssex2  9177  1sdomOLD  9285  marypha1lem  9473  fseqenlem1  10064  dfac12lem2  10185  dfac12lem3  10186  ackbij2  10282  fin23lem28  10380  fin23lem32  10384  fin23lem34  10386  fin23lem35  10387  fin23lem41  10392  iundom2g  10580  pwfseqlem5  10703  hashf1lem1  14494  hashf1lem2  14495  hashf1  14496  4sqlem11  16993  injsubmefmnd  18910  conjsubgen  19269  sylow1lem2  19617  sylow2blem1  19638  hauspwpwf1  23995  istrkg2ld  28468  axlowdim  28976  sizusglecusg  29481  specval  31917  aciunf1lem  32672  zrhchr  33975  qqhre  34021  hashnexinj  42129  eldioph2lem2  42772  meadjiunlem  46480  fcoresf1b  47082  fundcmpsurbijinjpreimafv  47394  fundcmpsurinjpreimafv  47395  fundcmpsurinjimaid  47398  f1sn2g  48760  f102g  48761
  Copyright terms: Public domain W3C validator