Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1sn2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1sn2g 48681
Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1sn2g ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g
StepHypRef Expression
1 fsn2g 7158 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
21biimpa 476 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
32simpld 494 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4 f1sng 6891 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵)
53, 4syldan 591 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵)
6 f1eq1 6800 . . 3 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵))
72, 6simpl2im 503 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵))
85, 7mpbird 257 1 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cop 4637  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  f1mo  48683
  Copyright terms: Public domain W3C validator