Theorem f1sn2g 49326

Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1sn2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2g 7091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
2	1	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4		f1sng 6823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
5	3, 4	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
6		f1eq1 6731	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
7	2, 6	simpl2im 503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  f1mo  49328