Theorem f1sn2g 48760

Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1sn2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2g 7158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
2	1	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4		f1sng 6890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
5	3, 4	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
6		f1eq1 6799	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
7	2, 6	simpl2im 503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ⟨cop 4632  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  f1mo  48762