Theorem f1sn2g 49513

Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1sn2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2g 7135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
2	1	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
3	2	simpld 499	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4		f1sng 6865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
5	3, 4	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
6		f1eq1 6770	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
7	2, 6	simpl2im 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  f1mo  49515