Theorem f1sn2g 46066

Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1sn2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2g 6992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
2	1	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4		f1sng 6741	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
5	3, 4	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
6		f1eq1 6649	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
7	2, 6	simpl2im 503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
8	5, 7	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  f1mo  46068