Theorem f1sn2g 49686

Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1sn2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2g 7138	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
2	1	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4		f1sng 6868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
5	3, 4	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵)
6		f1eq1 6773	. . 3 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
7	2, 6	simpl2im 513	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1→𝐵))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548

This theorem is used by:  f1mo  49688