Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1sn2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1sn2g 46849
Description: A function that maps a singleton to a class is injective. (Contributed by Zhi Wang, 1-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1sn2g ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1𝐵)

Proof of Theorem f1sn2g
StepHypRef Expression
1 fsn2g 7080 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
21biimpa 477 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
32simpld 495 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4 f1sng 6823 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵)
53, 4syldan 591 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵)
6 f1eq1 6730 . . 3 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹:{𝐴}–1-1𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵))
72, 6simpl2im 504 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → (𝐹:{𝐴}–1-1𝐵 ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1𝐵))
85, 7mpbird 256 1 ((𝐴𝑉𝐹:{𝐴}⟶𝐵) → 𝐹:{𝐴}–1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584  cop 4590  wf 6489  1-1wf1 6490  cfv 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501
This theorem is referenced by:  f1mo  46851
  Copyright terms: Public domain W3C validator