Theorem f10d 6816

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
f10d	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6815	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
2		dm0 5877	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6734	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴)
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→𝐴
6		f10d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)
7	6	dmeqd 5862	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom ∅)
8		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
9	6, 7, 8	f1eq123d 6774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1→𝐴))
10	5, 9	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∅c0 4287  dom cdm 5632  –1-1→wf1 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505

This theorem is referenced by:  umgr0e  29195  usgr0e  29321