Theorem f10d 6896

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
f10d	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6895	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
2		dm0 5945	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 6813	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴)
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→𝐴
6		f10d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)
7	6	dmeqd 5930	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom ∅)
8		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
9	6, 7, 8	f1eq123d 6854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1→𝐴))
10	5, 9	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537  ∅c0 4352  dom cdm 5700  –1-1→wf1 6570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578

This theorem is referenced by:  umgr0e  29145  usgr0e  29271