Theorem f1eq123d 6841

Description: Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1eq123d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
f1eq123d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
f1eq123d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
f1eq123d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐷))

Proof of Theorem f1eq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq123d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		f1eq1 6798	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1𝐶))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐴⟶1-1𝐶))
4		f1eq123d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5		f1eq2 6799	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐶))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐶))
7		f1eq123d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
8		f1eq3 6800	. . 3 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐺:𝐵⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐷))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐷))
10	3, 6, 9	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶1-1𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⟶1-1wf1 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566

This theorem is used by:  f10d  6885  f1resfz0f1d  13957  s1f1  14787  fthf1  18126  cofth  18144  rngqiprngimf1  21629  istrkgld  28954  istrkg2ld  28955  isushgr  29672  isuspgr  29766  isusgr  29767  isuspgrop  29775  isusgrop  29776  ausgrusgrb  29779  ausgrusgri  29782  usgrstrrepe  29849  uspgr1e  29858  usgrres1  29929  usgrexi  30055  uspgr2wlkeq  30259  usgr2trlncl  30379  aciunf1  33332  pfxf1  33582  tocycfv  33746  tocycf  33754  tocyc01  33755  cycpmco2f1  33761  cycpmco2rn  33762  cycpmco2lem1  33763  cycpmco2lem2  33764  cycpmco2lem3  33765  cycpmco2lem4  33766  cycpmco2lem5  33767  cycpmco2lem6  33768  cycpmco2lem7  33769  cycpmco2  33770  cycpm3cl2  33773  cycpmconjv  33779  tocyccntz  33781  cyc3evpm  33787  cycpmgcl  33790  cycpmconjslem2  33792  cyc3conja  33794  dimkerim  34342  aks6d1c2  43383  f1cof1b  48362  fundcmpsurinjALT  48709  upgrimtrls  49219  stgrusgra  49272  gpgusgra  49370  cofidf2  50451