Theorem f1eq123d 6814

Description: Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1eq123d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
f1eq123d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
f1eq123d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
f1eq123d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))

Proof of Theorem f1eq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq123d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		f1eq1 6771	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐶))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐶))
4		f1eq123d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5		f1eq2 6772	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶))
7		f1eq123d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
8		f1eq3 6773	. . 3 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))
10	3, 6, 9	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  –1-1→wf1 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543

This theorem is referenced by:  f10d  6857  fthf1  17977  cofth  17995  rngqiprngimf1  21421  istrkgld  28706  istrkg2ld  28707  isushgr  29389  isuspgr  29480  isusgr  29481  isuspgrop  29489  isusgrop  29490  ausgrusgrb  29493  ausgrusgri  29496  usgrstrrepe  29563  uspgr1e  29572  usgrres1  29643  usgrexi  29769  uspgr2wlkeq  29973  usgr2trlncl  30087  aciunf1  32986  pfxf1  33240  s1f1  33241  tocycfv  33407  tocycf  33415  tocyc01  33416  cycpmco2f1  33422  cycpmco2rn  33423  cycpmco2lem1  33424  cycpmco2lem2  33425  cycpmco2lem3  33426  cycpmco2lem4  33427  cycpmco2lem5  33428  cycpmco2lem6  33429  cycpmco2lem7  33430  cycpmco2  33431  cycpm3cl2  33434  cycpmconjv  33440  tocyccntz  33442  cyc3evpm  33448  cycpmgcl  33451  cycpmconjslem2  33453  cyc3conja  33455  dimkerim  33995  f1resfz0f1d  35583  aks6d1c2  42875  f1cof1b  47791  fundcmpsurinjALT  48138  upgrimtrls  48648  stgrusgra  48701  gpgusgra  48799  cofidf2  49875