Theorem f1sng 6817

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2		f1of1 6773	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
4		snssi 4764	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ⊆ 𝑊)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐵} ⊆ 𝑊)
6		f1ss 6735	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ⟨cop 4586  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  fsnd  6818  uspgr1e  29317  0wlkons1  30196  f1sn2g  49096