Theorem f1sng 6397

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2		f1of1 6355	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
4		snssi 4527	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ⊆ 𝑊)
5	4	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐵} ⊆ 𝑊)
6		f1ss 6321	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
7	3, 5, 6	syl2anc 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ⟨cop 4374  –1-1→wf1 6098  –1-1-onto→wf1o 6100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108

This theorem is referenced by:  fsnd  6398  uspgr1e  26478  0wlkons1  27465