Theorem f1sng 6823

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2		f1of1 6779	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
4		snssi 4729	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ⊆ 𝑊)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐵} ⊆ 𝑊)
6		f1ss 6741	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
7	3, 5, 6	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ⟨cop 4573  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505

This theorem is referenced by:  fsnd  6824  uspgr1e  29313  0wlkons1  30191  f1sn2g  49326