Theorem 0wlkons1 27524

Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkons1	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)

Proof of Theorem 0wlkons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13688	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩})
2		0z 11739	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	2	jctl 519	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4		f1sng 6432	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1→𝑉)
5		f1f 6351	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1→𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → ⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩})
8		fzsn 12700	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	2, 8	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
10	7, 9	feq12d 6279	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → (⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
11	6, 10	syl5ibrcom 239	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → ⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉))
12	1, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉)
13		s1fv 13700	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑁”⟩‘0) = 𝑁)
14		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15	14	0wlkon 27523	. 2 ⊢ ((⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉 ∧ (⟨“𝑁”⟩‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)
16	12, 13, 15	syl2anc 579	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  –1-1→wf1 6132  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  ℤcz 11728  ...cfz 12643  ⟨“cs1 13685  Vtxcvtx 26344  WalksOncwlkson 26945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-s1 13686  df-wlks 26947  df-wlkson 26948

This theorem is referenced by: (None)