Theorem fsnd 6660

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsnd	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		fsnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
4		f1sng 6659	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
5		f1f 6574	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
6	3, 4, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114  {csn 4516  ⟨cop 4522  ⟶wf 6335  –1-1→wf1 6336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346

This theorem is referenced by:  1fv  13117  snopiswrd  13964  frgpcyg  20392  mat1dimmul  21227  pt1hmeo  22557  upgr1e  27058  1hevtxdg1  27448  wlkp1  27623  wlkl0  28304  reprsuc  32165  breprexplema  32180  satfv1lem  32895  frlmsnic  39844  fsetsniunop  44081  nnsum3primesprm  44776  0aryfvalel  45514  fv1arycl  45517  1arympt1fv  45519  1arymaptfo  45523