Theorem fsnd 6900

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsnd	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		fsnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
4		f1sng 6899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶1-1𝑊)
5		f1f 6808	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
6	3, 4, 5	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4840  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573

This theorem is used by:  1fv  13821  snopiswrd  14709  frgpcyg  21934  mat1dimmul  22846  pt1hmeo  24180  upgr1e  29748  1hevtxdg1  30144  wlkp1  30317  wlkl0  31025  0mplrim  34257  selvply1rhmlema  34261  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem2  34264  selvply1rhmlem4  34266  selvply1rhm0  34269  evlextv  34285  reprsuc  35355  breprexplema  35370  satfv1lem  36335  frlmsnic  43870  fsetsniunop  48392  nnsum3primesprm  49161  0aryfvalel  50077  fv1arycl  50080  1arympt1fv  50082  1arymaptfo  50086