MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnd 6399
Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsnd.a (𝜑𝐴𝑉)
fsnd.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsnd (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd
StepHypRef Expression
1 fsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 fsnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2jca 508 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
4 f1sng 6398 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
5 f1f 6317 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
63, 4, 53syl 18 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  {csn 4369  cop 4375  wf 6098  1-1wf1 6099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pr 5098
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-br 4845  df-opab 4907  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109
This theorem is referenced by:  1fv  12712  snopiswrd  13542  frgpcyg  20242  mat1dimmul  20607  pt1hmeo  21937  upgr1e  26347  1hevtxdg1  26755  wlkp1  26933  wlkl0  27739  reprsuc  31212  breprexplema  31227  nnsum3primesprm  42455
  Copyright terms: Public domain W3C validator