Theorem fsnd 6819

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsnd	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		fsnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
4		f1sng 6818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
5		f1f 6731	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
6	3, 4, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ⟨cop 4574  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500

This theorem is referenced by:  1fv  13595  snopiswrd  14479  frgpcyg  21566  mat1dimmul  22454  pt1hmeo  23784  upgr1e  29199  1hevtxdg1  29593  wlkp1  29766  wlkl0  30455  evlextv  33704  reprsuc  34778  breprexplema  34793  satfv1lem  35563  frlmsnic  43002  fsetsniunop  47512  nnsum3primesprm  48281  0aryfvalel  49125  fv1arycl  49128  1arympt1fv  49130  1arymaptfo  49134