MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnd 6650
Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsnd.a (𝜑𝐴𝑉)
fsnd.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsnd (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd
StepHypRef Expression
1 fsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 fsnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
4 f1sng 6649 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
5 f1f 6568 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
63, 4, 53syl 18 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2107  {csn 4559  cop 4565  wf 6344  1-1wf1 6345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  1fv  13018  snopiswrd  13862  frgpcyg  20712  mat1dimmul  21077  pt1hmeo  22406  upgr1e  26890  1hevtxdg1  27280  wlkp1  27455  wlkl0  28138  reprsuc  31879  breprexplema  31894  satfv1lem  32602  frlmsnic  39139  nnsum3primesprm  43945
  Copyright terms: Public domain W3C validator