Theorem uspgr1e 29594

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
uspgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem uspgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		prex 5409	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
3	2	snid 4628	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
4		f1sng 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
5	1, 3, 4	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
6		uspgr1e.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		uspgr1e.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	6, 7	prssd 4788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	sseqtrdi 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
11	2	elpw 4566	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
12	10, 11	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13	12, 6	upgr1elem 29462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14		f1ss 6781	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	5, 13, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
17	16, 6	upgr1elem 29462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
18		f1ss 6781	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
19	5, 17, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
20		f1dm 6780	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
21		f1eq2 6770	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
23	15, 22	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
24		uspgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
25	24	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
26		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
27	24, 25, 26	f1eq123d 6812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
28	23, 27	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
29	9	1vgrex 29352	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32	30, 31	isuspgr 29502	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
33	6, 29, 32	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
34	28, 33	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536   ≤ cle 11239  2c2 12290  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  USPGraphcuspgr 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-uspgr 29500

This theorem is referenced by:  usgr1e  29595  uspgr1eop  29597  1loopgruspgr  29850