Theorem uspgr1e 28366

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
uspgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem uspgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		prex 5425	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
3	2	snid 4658	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
4		f1sng 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
6		uspgr1e.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		uspgr1e.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	6, 7	prssd 4818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	sseqtrdi 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
11	2	elpw 4600	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
12	10, 11	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13	12, 6	upgr1elem 28237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14		f1ss 6780	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	5, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
17	16, 6	upgr1elem 28237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
18		f1ss 6780	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
19	5, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
20		f1dm 6778	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
21		f1eq2 6770	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
23	15, 22	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
24		uspgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
25	24	dmeqd 5897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
26		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
27	24, 25, 26	f1eq123d 6812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
28	23, 27	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
29	9	1vgrex 28127	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
30		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32	30, 31	isuspgr 28277	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
33	6, 29, 32	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
34	28, 33	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3431  Vcvv 3473   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4596  {csn 4622  {cpr 4624  ⟨cop 4628   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  –1-1→wf1 6529  ‘cfv 6532   ≤ cle 11231  2c2 12249  ♯chash 14272  Vtxcvtx 28121  iEdgciedg 28122  USPGraphcuspgr 28273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-oadd 8452  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273  df-uspgr 28275

This theorem is referenced by:  usgr1e  28367  uspgr1eop  28369  1loopgruspgr  28622