Theorem f1ssf1 6879

Description: A subset of an injective function is injective. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssf1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Proof of Theorem f1ssf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 6609	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
2		funres11 6642	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
3		cnveq 5883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → ◡𝐺 = ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
4	3	funeqd 6587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐺 ↔ Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺)))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
6	5	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺)))
9	8	com23 86	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → Fun ◡𝐺)))
10	9	3imp 1110	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ⊆ wss 3950  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684   ↾ cres 5686  Fun wfun 6554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-res 5696  df-fun 6562

This theorem is referenced by:  subusgr  29307