Theorem f1ssf1 6834

Description: A subset of an injective function is injective. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssf1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Proof of Theorem f1ssf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 6560	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
2		funres11 6593	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
3		cnveq 5841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → ◡𝐺 = ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
4	3	funeqd 6538	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐺 ↔ Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺)))
5	2, 4	imbitrrid 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
6	5	eqcoms 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
8	7	ex 416	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺)))
9	8	com23 86	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → Fun ◡𝐺)))
10	9	3imp 1122	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  Fun wfun 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-res 5655  df-fun 6518

This theorem is referenced by:  subusgr  29447