Theorem f1ssf1 6639

Description: A subset of an injective function is injective. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssf1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Proof of Theorem f1ssf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 6385	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
2		funres11 6418	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
3		cnveq 5720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → ◡𝐺 = ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
4	3	funeqd 6363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐺 ↔ Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺)))
5	2, 4	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
6	5	eqcoms 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
8	7	ex 416	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺)))
9	8	com23 86	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → Fun ◡𝐺)))
10	9	3imp 1109	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ⊆ wss 3861  ^◡ccnv 5528  dom cdm 5529   ↾ cres 5531  Fun wfun 6335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pr 5303

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-br 5038  df-opab 5100  df-id 5435  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-res 5541  df-fun 6343

This theorem is referenced by:  subusgr  27193