Theorem f1ssf1 6790

Description: A subset of an injective function is injective. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssf1	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Proof of Theorem f1ssf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 6520	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
2		funres11 6553	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
3		cnveq 5808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → ◡𝐺 = ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺))
4	3	funeqd 6498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐺 ↔ Fun ◡(𝐹 ↾ dom 𝐺)))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝐹 ↾ dom 𝐺) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
6	5	eqcoms 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → Fun ◡𝐺)))
9	8	com23 86	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (Fun ◡𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → Fun ◡𝐺)))
10	9	3imp 1110	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Fun ◡𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613  Fun wfun 6470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-res 5623  df-fun 6478

This theorem is referenced by:  subusgr  29262