Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 3412 |
. . . . 5
⊢ 𝑦 ∈ V |
2 | 1 | opelresi 5859 |
. . . 4
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
3 | | vex 3412 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑥 ∈ V |
4 | 3, 1 | opeldm 5776 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺) |
5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺)) |
6 | | ssel 3893 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
7 | 5, 6 | jcad 516 |
. . . . . 6
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹))) |
8 | 7 | adantl 485 |
. . . . 5
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹))) |
9 | | funeu2 6406 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) → ∃!𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
10 | 3 | eldm2 5770 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺) |
11 | 6 | ancrd 555 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
12 | 11 | eximdv 1925 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
13 | 10, 12 | syl5bi 245 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
14 | 13 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
15 | | eupick 2634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∃!𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
16 | 9, 14, 15 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((Fun
𝐹 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺)) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
17 | 16 | exp43 440 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))))) |
18 | 17 | com23 86 |
. . . . . . . . 9
⊢ (Fun
𝐹 → (𝐺 ⊆ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))))) |
19 | 18 | imp 410 |
. . . . . . . 8
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)))) |
20 | 19 | com34 91 |
. . . . . . 7
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)))) |
21 | 20 | pm2.43d 53 |
. . . . . 6
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
22 | 21 | impcomd 415 |
. . . . 5
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
23 | 8, 22 | impbid 215 |
. . . 4
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹))) |
24 | 2, 23 | bitr4id 293 |
. . 3
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
25 | 24 | alrimivv 1936 |
. 2
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
26 | | relres 5880 |
. . 3
⊢ Rel
(𝐹 ↾ dom 𝐺) |
27 | | funrel 6397 |
. . . 4
⊢ (Fun
𝐹 → Rel 𝐹) |
28 | | relss 5653 |
. . . 4
⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (Rel 𝐹 → Rel 𝐺)) |
29 | 27, 28 | mpan9 510 |
. . 3
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → Rel 𝐺) |
30 | | eqrel 5655 |
. . 3
⊢ ((Rel
(𝐹 ↾ dom 𝐺) ∧ Rel 𝐺) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
31 | 26, 29, 30 | sylancr 590 |
. 2
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺 ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺))) |
32 | 25, 31 | mpbird 260 |
1
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺) |