Theorem fafv2elcdm 47547

Description: An alternate function value belongs to the codomain of the function, analogous to ffvelcdm 7028. (Contributed by AV, 2-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fafv2elcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹''''𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fafv2elcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6663	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnafv2elrn 47546	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹''''𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹''''𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 6670	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3933	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹''''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹''''𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹''''𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹''''𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ''''cafv2 47521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-dfat 47432  df-afv2 47522

This theorem is referenced by: (None)