Theorem fntpg 6628

Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fntpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})

Proof of Theorem fntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtpg 6623	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
2		dmsnopg 6235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋})
3	2	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋})
4		dmsnopg 6235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐺 → dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌})
5	4	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌})
6	3, 5	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}))
7	6	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}))
8		uneq12 4173	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌}))
10		df-pr 4634	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	9, 10	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌})
12		df-pr 4634	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩})
13	12	dmeqi 5918	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩})
14	13	eqeq1i 2740	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌})
15		dmun 5924	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1i 2740	. . . . . 6 ⊢ (dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌})
17	14, 16	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌})
18	11, 17	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
19		dmsnopg 6235	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
20	19	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
21	20	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
22	18, 21	uneq12d 4179	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
23		df-tp 4636	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
24	23	dmeqi 5918	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
25		dmun 5924	. . . 4 ⊢ dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
26	24, 25	eqtri 2763	. . 3 ⊢ dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩})
27		df-tp 4636	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
28	22, 26, 27	3eqtr4g 2800	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
29		df-fn 6566	. 2 ⊢ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍}))
30	1, 28, 29	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-fun 6565  df-fn 6566

This theorem is referenced by: (None)