Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | funtpg 6557 |
. 2
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}) |
2 | | dmsnopg 6166 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋}) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋}) |
4 | | dmsnopg 6166 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ 𝐺 → dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}) |
5 | 4 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}) |
6 | 3, 5 | jca 513 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌})) |
7 | 6 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌})) |
8 | | uneq12 4119 |
. . . . . . 7
⊢ ((dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩} = {𝑋} ∧ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑌}) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌})) |
9 | 7, 8 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = ({𝑋} ∪ {𝑌})) |
10 | | df-pr 4590 |
. . . . . 6
⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌}) |
11 | 9, 10 | eqtr4di 2791 |
. . . . 5
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌}) |
12 | | df-pr 4590 |
. . . . . . . 8
⊢
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) |
13 | 12 | dmeqi 5861 |
. . . . . . 7
⊢ dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) |
14 | 13 | eqeq1i 2738 |
. . . . . 6
⊢ (dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌}) |
15 | | dmun 5867 |
. . . . . . 7
⊢ dom
({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) |
16 | 15 | eqeq1i 2738 |
. . . . . 6
⊢ (dom
({⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌}) |
17 | 14, 16 | bitri 275 |
. . . . 5
⊢ (dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌} ↔ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩} ∪ dom {⟨𝑌, 𝐵⟩}) = {𝑋, 𝑌}) |
18 | 11, 17 | sylibr 233 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌}) |
19 | | dmsnopg 6166 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍}) |
20 | 19 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍}) |
21 | 20 | 3ad2ant2 1135 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍}) |
22 | 18, 21 | uneq12d 4125 |
. . 3
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) |
23 | | df-tp 4592 |
. . . . 5
⊢
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) |
24 | 23 | dmeqi 5861 |
. . . 4
⊢ dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = dom ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) |
25 | | dmun 5867 |
. . . 4
⊢ dom
({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) |
26 | 24, 25 | eqtri 2761 |
. . 3
⊢ dom
{⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) |
27 | | df-tp 4592 |
. . 3
⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) |
28 | 22, 26, 27 | 3eqtr4g 2798 |
. 2
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍}) |
29 | | df-fn 6500 |
. 2
⊢
({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑋, 𝑌, 𝑍})) |
30 | 1, 28, 29 | sylanbrc 584 |
1
⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} Fn {𝑋, 𝑌, 𝑍}) |