Theorem fvmpt4d 45263

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt4d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmpt4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
fvmpt4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt4d	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Proof of Theorem fvmpt4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		fvmpt4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fvmpt4d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	fvmpt2f 6971	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521

This theorem is referenced by: (None)