Theorem fvmpt4d 45251

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt4d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmpt4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
fvmpt4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt4d	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Proof of Theorem fvmpt4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		fvmpt4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fvmpt4d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	fvmpt2f 7024	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ↦ cmpt 5234  ‘cfv 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577

This theorem is referenced by: (None)