Theorem fvmpt4d 45727

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt4d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmpt4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
fvmpt4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt4d	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Proof of Theorem fvmpt4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		fvmpt4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fvmpt4d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	fvmpt2f 6943	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by: (None)