Theorem fvmpt4d 46092

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt4d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmpt4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
fvmpt4d.3	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt4d	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

Proof of Theorem fvmpt4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		fvmpt4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
3		fvmpt4d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	fvmpt2f 6991	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is used by: (None)