Theorem sub2times 40975

Description: Subtracting from a number, twice the number itself, gives negative the number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sub2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Proof of Theorem sub2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 11583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq2d 6992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 3	addcld 10459	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	negsubd 10804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
6	3, 3	negdid 10811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 + 𝐴) = (-𝐴 + -𝐴))
7	6	oveq2d 6992	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
8		negcl 10686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9	3, 8, 8	addassd 10462	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
10		negid 10734	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 6991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (0 + -𝐴))
12	8	addid2d 10641	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + -𝐴) = -𝐴)
13	11, 12	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = -𝐴)
14	7, 9, 13	3eqtr2d 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = -𝐴)
15	2, 5, 14	3eqtr2d 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670  -cneg 10671  2c2 11495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-sub 10672  df-neg 10673  df-2 11503

This theorem is referenced by:  cosnegpi  41584