Theorem sub2times 46020

Description: Subtracting from a number, twice the number itself, gives negative the number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sub2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Proof of Theorem sub2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 12382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 3	addcld 11234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	negsubd 11581	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
6	3, 3	negdid 11588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 + 𝐴) = (-𝐴 + -𝐴))
7	6	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
8		negcl 11463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9	3, 8, 8	addassd 11237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
10		negid 11511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (0 + -𝐴))
12	8	addlidd 11417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + -𝐴) = -𝐴)
13	11, 12	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = -𝐴)
14	7, 9, 13	3eqtr2d 2803	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = -𝐴)
15	2, 5, 14	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  -cneg 11448  2c2 12301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450  df-2 12309

This theorem is used by:  cosnegpi  46609