Theorem sub2times 46492

Description: Subtracting from a number, twice the number itself, gives negative the number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sub2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Proof of Theorem sub2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 12502	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq2d 7456	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 3	addcld 11352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	negsubd 11699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
6	3, 3	negdid 11706	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 + 𝐴) = ( -𝐴 + -𝐴))
7	6	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + ( -𝐴 + -𝐴)))
8		negcl 11581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9	3, 8, 8	addassd 11355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (𝐴 + ( -𝐴 + -𝐴)))
10		negid 11629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (0 + -𝐴))
12	8	addlidd 11535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + -𝐴) = -𝐴)
13	11, 12	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = -𝐴)
14	7, 9, 13	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = -𝐴)
15	2, 5, 14	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566  2c2 12421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-2 12429

This theorem is used by:  cosnegpi  47080