Theorem sub2times 45732

Description: Subtracting from a number, twice the number itself, gives negative the number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sub2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Proof of Theorem sub2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 12309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq2d 7380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 3	addcld 11161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	negsubd 11508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 − (𝐴 + 𝐴)))
6	3, 3	negdid 11515	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 + 𝐴) = (-𝐴 + -𝐴))
7	6	oveq2d 7380	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
8		negcl 11390	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9	3, 8, 8	addassd 11164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (𝐴 + (-𝐴 + -𝐴)))
10		negid 11438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7379	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = (0 + -𝐴))
12	8	addlidd 11344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + -𝐴) = -𝐴)
13	11, 12	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + -𝐴) + -𝐴) = -𝐴)
14	7, 9, 13	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -(𝐴 + 𝐴)) = -𝐴)
15	2, 5, 14	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 · 𝐴)) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7364  ℂcc 11033  0cc0 11035   + caddc 11038   · cmul 11040   − cmin 11374  -cneg 11375  2c2 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-ltxr 11181  df-sub 11376  df-neg 11377  df-2 12241

This theorem is referenced by:  cosnegpi  46321