Theorem gchdju1 10615

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdju1	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8606	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ ω)
3		djudoml 10144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4	2, 3	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6		nnfi 9136	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ Fin)
8		fidomtri2 9953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ∈ Fin)
11		domfi 9158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1o) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
14	9, 13	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
15	5, 14	mt3d 148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≺ 𝐴)
16		canthp1 10613	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
18	4, 17	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))
19		gchen1 10584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
21	20	ensymd 8978	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5109  ωcom 7844  1_oc1o 8429   ≈ cen 8917   ≼ cdom 8918   ≺ csdm 8919  Fincfn 8920   ⊔ cdju 9857  GCHcgch 10579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-gch 10580

This theorem is referenced by:  gchinf  10616  gchdjuidm  10627  gchpwdom  10629