Theorem gchdju1 10168

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdju1	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8308	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ ω)
3		djudoml 9696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4	2, 3	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
5		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6		nnfi 8778	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ Fin)
8		fidomtri2 9508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
9	7, 8	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ∈ Fin)
11		domfi 8829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1o) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
14	9, 13	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
15	5, 14	mt3d 150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≺ 𝐴)
16		canthp1 10166	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
18	4, 17	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))
19		gchen1 10137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
21	20	ensymd 8618	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4498   class class class wbr 5040  ωcom 7611  1_oc1o 8136   ≈ cen 8564   ≼ cdom 8565   ≺ csdm 8566  Fincfn 8567   ⊔ cdju 9412  GCHcgch 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-gch 10133

This theorem is referenced by:  gchinf  10169  gchdjuidm  10180  gchpwdom  10182