MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdju1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdju1 10653
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdju1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdju1
StepHypRef Expression
1 1onn 8641 . . . . . 6 1o ∈ ω
21a1i 11 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ ω)
3 djudoml 10181 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
42, 3sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6 nnfi 9169 . . . . . . . . 9 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
71, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ Fin)
8 fidomtri2 9991 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o𝐴))
97, 8sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o𝐴))
101, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ∈ Fin)
11 domfi 9194 . . . . . . . . 9 ((1o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1o) → 𝐴 ∈ Fin)
1211ex 412 . . . . . . . 8 (1o ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1o𝐴 ∈ Fin))
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o𝐴 ∈ Fin))
149, 13sylbird 260 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1o𝐴𝐴 ∈ Fin))
155, 14mt3d 148 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o𝐴)
16 canthp1 10651 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
184, 17jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))
19 gchen1 10622 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2018, 19mpdan 684 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
2120ensymd 9003 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  ωcom 7852  1oc1o 8460  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941  cdju 9895  GCHcgch 10617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-gch 10618
This theorem is referenced by:  gchinf  10654  gchdjuidm  10665  gchpwdom  10667
  Copyright terms: Public domain W3C validator