Theorem gchdju1 10665

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdju1	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8652	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ ω)
3		djudoml 10193	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4	2, 3	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6		nnfi 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1o ∈ Fin)
8		fidomtri2 10003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1o ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
9	7, 8	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o ↔ ¬ 1o ≺ 𝐴))
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ∈ Fin)
11		domfi 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1o) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1o → 𝐴 ∈ Fin))
14	9, 13	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
15	5, 14	mt3d 148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≺ 𝐴)
16		canthp1 10663	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
18	4, 17	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))
19		gchen1 10634	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
21	20	ensymd 9015	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  ωcom 7862  1_oc1o 8471   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951   ≺ csdm 8952  Fincfn 8953   ⊔ cdju 9907  GCHcgch 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-gch 10630

This theorem is referenced by:  gchinf  10666  gchdjuidm  10677  gchpwdom  10679