Theorem gchxpidm 10672

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchxpidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5275	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∅ ∈ V)
3		xpsneng 9060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4	2, 3	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 9011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
6		df1o2 8469	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0fi 9049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
10	9	necon3bi 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		0sdomg 9104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	11, 13	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∅ ≺ 𝐴)
15		0sdom1dom 9216	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≼ 𝐴)
17	6, 16	eqbrtrrid 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {∅} ≼ 𝐴)
18		xpdom2g 9071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ {∅} ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		endomtr 9018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	5, 19, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		canth2g 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
24		sdomdom 8986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
26		xpdom1g 9072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
27	25, 26	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
28		pwexg 5354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30		xpdom2g 9071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
31	29, 25, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
32		domtr 9013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴)) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
33	27, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
34		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
35		pwdjuen 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
36	34, 35	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
37	36	ensymd 9011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴))
38		gchdjuidm 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
39		pwen 9148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41		entr 9012	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42	37, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
43		domentr 9019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
44	33, 42, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
45		gchinf 10660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
46		pwxpndom 10669	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
48		ensym 9009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
49		endom 8985	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
51	47, 50	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
52		brsdom 8980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
53	44, 51, 52	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
54	21, 53	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
55		gchen1 10628	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
56	54, 55	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
57	56	ensymd 9011	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ωcom 7871  1_oc1o 8455   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  Fincfn 8952   ⊔ cdju 9903  GCHcgch 10623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seqom 8444  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-har 9529  df-cnf 9641  df-dju 9906  df-card 9944  df-fin4 10289  df-gch 10624

This theorem is used by:  gchhar  10682