Theorem gchxpidm 10567

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchxpidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5247	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∅ ∈ V)
3		xpsneng 8982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 8934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
6		df1o2 8398	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0fi 8971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
10	9	necon3bi 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		0sdomg 9026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	11, 13	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∅ ≺ 𝐴)
15		0sdom1dom 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≼ 𝐴)
17	6, 16	eqbrtrrid 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {∅} ≼ 𝐴)
18		xpdom2g 8993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ {∅} ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		endomtr 8941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	5, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		canth2g 9051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
24		sdomdom 8909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
26		xpdom1g 8994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
28		pwexg 5318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30		xpdom2g 8993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
31	29, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
32		domtr 8936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴)) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
33	27, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
34		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
35		pwdjuen 10080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
36	34, 35	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
37	36	ensymd 8934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴))
38		gchdjuidm 10566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
39		pwen 9070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41		entr 8935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42	37, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
43		domentr 8942	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
44	33, 42, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
45		gchinf 10555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
46		pwxpndom 10564	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
48		ensym 8932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
49		endom 8908	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
51	47, 50	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
52		brsdom 8903	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
53	44, 51, 52	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
54	21, 53	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
55		gchen1 10523	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
56	54, 55	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
57	56	ensymd 8934	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  {csn 4575   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ωcom 7802  1_oc1o 8384   ≈ cen 8872   ≼ cdom 8873   ≺ csdm 8874  Fincfn 8875   ⊔ cdju 9798  GCHcgch 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-seqom 8373  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-oexp 8397  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-har 9450  df-cnf 9559  df-dju 9801  df-card 9839  df-fin4 10185  df-gch 10519

This theorem is referenced by:  gchhar  10577