Theorem gchxpidm 10592

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchxpidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5254	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∅ ∈ V)
3		xpsneng 9002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4	2, 3	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 8954	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
6		df1o2 8414	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0fi 8991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
10	9	necon3bi 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		0sdomg 9046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
14	11, 13	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∅ ≺ 𝐴)
15		0sdom1dom 9158	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1o ≼ 𝐴)
17	6, 16	eqbrtrrid 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {∅} ≼ 𝐴)
18		xpdom2g 9013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ {∅} ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		endomtr 8961	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	5, 19, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		canth2g 9071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
24		sdomdom 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
26		xpdom1g 9014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
27	25, 26	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
28		pwexg 5325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30		xpdom2g 9013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
31	29, 25, 30	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
32		domtr 8956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴)) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
33	27, 31, 32	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
34		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
35		pwdjuen 10104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
36	34, 35	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
37	36	ensymd 8954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴))
38		gchdjuidm 10591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
39		pwen 9090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41		entr 8955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
42	37, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
43		domentr 8962	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
44	33, 42, 43	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
45		gchinf 10580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
46		pwxpndom 10589	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
48		ensym 8952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
49		endom 8928	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
51	47, 50	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
52		brsdom 8923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
53	44, 51, 52	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
54	21, 53	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
55		gchen1 10548	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
56	54, 55	mpdan 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
57	56	ensymd 8954	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ωcom 7818  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895   ⊔ cdju 9822  GCHcgch 10543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seqom 8389  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-oexp 8413  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-har 9474  df-cnf 9583  df-dju 9825  df-card 9863  df-fin4 10209  df-gch 10544

This theorem is referenced by:  gchhar  10602