Theorem gchdjuidm 10133

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdjuidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		djudoml 9649	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4		canth2g 8698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 8560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		reldom 8538	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		djudom1 9647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 10	mpdan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
12	9	pwexd 5251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		djudom2 9648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
14	12, 13	mpdan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15		domtr 8585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	11, 14, 15	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		pwdju1 9655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
19	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20		gchdju1 10121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21		pwen 8717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23		entr 8584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25		domentr 8591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
26	17, 24, 25	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27		gchinf 10122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28		pwdjundom 10132	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
30		ensym 8581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
31		endom 8559	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	29, 32	nsyl 142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34		brsdom 8555	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
35	26, 33, 34	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
36	3, 35	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37		gchen1 10090	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
38	36, 37	mpdan 686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
39	38	ensymd 8583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5035  ωcom 7584  1_oc1o 8110   ≈ cen 8529   ≼ cdom 8530   ≺ csdm 8531  Fincfn 8532   ⊔ cdju 9365  GCHcgch 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-seqom 8099  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-oexp 8123  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-har 9059  df-cnf 9163  df-dju 9368  df-card 9406  df-fin4 9752  df-gch 10086

This theorem is referenced by:  gchxpidm  10134  gchpwdom  10135  gchhar  10144