Theorem gchdjuidm 10621

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdjuidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		djudoml 10138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4		canth2g 9095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 8951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		reldom 8924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		djudom1 10136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 10	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
12	9	pwexd 5334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		djudom2 10137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
14	12, 13	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15		domtr 8978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	11, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		pwdju1 10144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20		gchdju1 10609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21		pwen 9114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23		entr 8977	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25		domentr 8984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
26	17, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27		gchinf 10610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28		pwdjundom 10620	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
30		ensym 8974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
31		endom 8950	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	29, 32	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34		brsdom 8946	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
35	26, 33, 34	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
36	3, 35	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37		gchen1 10578	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
38	36, 37	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
39	38	ensymd 8976	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  ωcom 7842  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918   ⊔ cdju 9851  GCHcgch 10573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-oexp 8440  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-har 9510  df-cnf 9615  df-dju 9854  df-card 9892  df-fin4 10240  df-gch 10574

This theorem is referenced by:  gchxpidm  10622  gchpwdom  10623  gchhar  10632