MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdjuidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdjuidm 10669
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdjuidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2 djudoml 10185 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
31, 1, 2syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
4 canth2g 9137 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6 sdomdom 8982 . . . . . . . 8 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8 reldom 8951 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
98brrelex1i 5732 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V)
10 djudom1 10183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴))
119, 10mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴))
129pwexd 5377 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 djudom2 10184 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1412, 13mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15 domtr 9009 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴) ∧ (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1611, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18 pwdju1 10191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20 gchdju1 10657 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21 pwen 9156 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23 entr 9008 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
2419, 22, 23syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25 domentr 9015 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
2617, 24, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27 gchinf 10658 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28 pwdjundom 10668 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
30 ensym 9005 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
31 endom 8981 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
3329, 32nsyl 140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34 brsdom 8977 . . . . 5 ((𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3526, 33, 34sylanbrc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
363, 35jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37 gchen1 10626 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
3836, 37mpdan 684 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
3938ensymd 9007 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2105  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ωcom 7859  1oc1o 8465  cen 8942  cdom 8943  csdm 8944  Fincfn 8945  cdju 9899  GCHcgch 10621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-seqom 8454  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-oexp 8478  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-har 9558  df-cnf 9663  df-dju 9902  df-card 9940  df-fin4 10288  df-gch 10622
This theorem is referenced by:  gchxpidm  10670  gchpwdom  10671  gchhar  10680
  Copyright terms: Public domain W3C validator