Theorem gchdjuidm 10753

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdjuidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		djudoml 10263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4		canth2g 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 9007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		reldom 8979	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		djudom1 10261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 10	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
12	9	pwexd 5341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		djudom2 10262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
14	12, 13	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15		domtr 9034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	11, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	7, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		pwdju1 10269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20		gchdju1 10741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21		pwen 9169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23		entr 9033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25		domentr 9040	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
26	17, 24, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27		gchinf 10742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28		pwdjundom 10752	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
30		ensym 9030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
31		endom 9006	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	29, 32	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34		brsdom 9001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
35	26, 33, 34	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
36	3, 35	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37		gchen1 10710	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
38	36, 37	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
39	38	ensymd 9032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ωcom 7877  1_oc1o 8469   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  Fincfn 8973   ⊔ cdju 9979  GCHcgch 10705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seqom 8458  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-oexp 8482  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-har 9551  df-cnf 9663  df-dju 9982  df-card 10020  df-fin4 10365  df-gch 10706

This theorem is used by:  gchxpidm  10754  gchpwdom  10755  gchhar  10764