MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdjuidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdjuidm 9925
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdjuidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2 djudoml 9445 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
31, 1, 2syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
4 canth2g 8508 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6 sdomdom 8375 . . . . . . . 8 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8 reldom 8353 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
98brrelex1i 5486 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V)
10 djudom1 9443 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴))
119, 10mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴))
129pwexd 5164 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 djudom2 9444 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1412, 13mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15 domtr 8400 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴𝐴) ∧ (𝒫 𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1611, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18 pwdju1 9451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20 gchdju1 9913 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21 pwen 8527 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23 entr 8399 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
2419, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25 domentr 8406 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
2617, 24, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27 gchinf 9914 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28 pwdjundom 9924 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
30 ensym 8396 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
31 endom 8374 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
3329, 32nsyl 142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34 brsdom 8370 . . . . 5 ((𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3526, 33, 34sylanbrc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
363, 35jca 512 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37 gchen1 9882 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
3836, 37mpdan 683 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))
3938ensymd 8398 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2079  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4447   class class class wbr 4956  ωcom 7427  1oc1o 7937  cen 8344  cdom 8345  csdm 8346  Fincfn 8347  cdju 9162  GCHcgch 9877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-seqom 7926  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-omul 7949  df-oexp 7950  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-oi 8810  df-har 8858  df-cnf 8960  df-dju 9165  df-card 9203  df-fin4 9544  df-gch 9878
This theorem is referenced by:  gchxpidm  9926  gchpwdom  9927  gchhar  9936
  Copyright terms: Public domain W3C validator