Theorem gchdjuidm 10708

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdjuidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		djudoml 10225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4		canth2g 9171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 9020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		reldom 8991	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		djudom1 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 10	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
12	9	pwexd 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		djudom2 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
14	12, 13	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15		domtr 9047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	11, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		pwdju1 10231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20		gchdju1 10696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21		pwen 9190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23		entr 9046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25		domentr 9053	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
26	17, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27		gchinf 10697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28		pwdjundom 10707	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
30		ensym 9043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
31		endom 9019	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	29, 32	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34		brsdom 9015	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
35	26, 33, 34	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
36	3, 35	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37		gchen1 10665	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
38	36, 37	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
39	38	ensymd 9045	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ωcom 7887  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985   ⊔ cdju 9938  GCHcgch 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-har 9597  df-cnf 9702  df-dju 9941  df-card 9979  df-fin4 10327  df-gch 10661

This theorem is referenced by:  gchxpidm  10709  gchpwdom  10710  gchhar  10719