Theorem gchdjuidm 10665

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdjuidm	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchdjuidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2		djudoml 10181	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
3	1, 1, 2	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4		canth2g 9133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5	4	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6		sdomdom 8978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8		reldom 8947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
10		djudom1 10179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 10	mpdan 683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴))
12	9	pwexd 5376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		djudom2 10180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
14	12, 13	mpdan 683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
15		domtr 9005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
16	11, 14, 15	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		pwdju1 10187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
19	18	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
20		gchdju1 10653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
21		pwen 9152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
23		entr 9004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
25		domentr 9011	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
26	17, 24, 25	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
27		gchinf 10654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
28		pwdjundom 10664	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
30		ensym 9001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
31		endom 8977	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	29, 32	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
34		brsdom 8973	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
35	26, 33, 34	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
36	3, 35	jca 510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
37		gchen1 10622	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
38	36, 37	mpdan 683	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))
39	38	ensymd 9003	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  ωcom 7857  1_oc1o 8461   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941   ⊔ cdju 9895  GCHcgch 10617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-har 9554  df-cnf 9659  df-dju 9898  df-card 9936  df-fin4 10284  df-gch 10618

This theorem is referenced by:  gchxpidm  10666  gchpwdom  10667  gchhar  10676