Theorem gzcn 17136

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 17135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  ℂcc 11222  ℤcz 12717  ℜcre 15290  ℑcim 15291  ℤ[i]cgz 17133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6509  df-fv 6563  df-gz 17134

This theorem is used by:  gznegcl  17139  gzcjcl  17140  gzaddcl  17141  gzmulcl  17142  gzsubcl  17144  gzabssqcl  17145  4sqlem4a  17155  4sqlem4  17156  mul4sqlem  17157  mul4sq  17158  4sqlem12  17160  4sqlem17  17165  gzsubrg  21754  gzrngunitlem  21765  gzrngunit  21766  2sqlem2  27772  mul2sq  27773  2sqlem3  27774  cntotbnd  38921