Theorem gzcn 16966

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  ℂcc 11151  ℤcz 12611  ℜcre 15133  ℑcim 15134  ℤ[i]cgz 16963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-gz 16964

This theorem is referenced by:  gznegcl  16969  gzcjcl  16970  gzaddcl  16971  gzmulcl  16972  gzsubcl  16974  gzabssqcl  16975  4sqlem4a  16985  4sqlem4  16986  mul4sqlem  16987  mul4sq  16988  4sqlem12  16990  4sqlem17  16995  gzsubrg  21457  gzrngunitlem  21468  gzrngunit  21469  2sqlem2  27477  mul2sq  27478  2sqlem3  27479  cntotbnd  37783