Theorem gzcn 16633

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℤcz 12319  ℜcre 14808  ℑcim 14809  ℤ[i]cgz 16630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-gz 16631

This theorem is referenced by:  gznegcl  16636  gzcjcl  16637  gzaddcl  16638  gzmulcl  16639  gzsubcl  16641  gzabssqcl  16642  4sqlem4a  16652  4sqlem4  16653  mul4sqlem  16654  mul4sq  16655  4sqlem12  16657  4sqlem17  16662  gzsubrg  20652  gzrngunitlem  20663  gzrngunit  20664  2sqlem2  26566  mul2sq  26567  2sqlem3  26568  cntotbnd  35954