Theorem gzcn 16864

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  ℂcc 11028  ℤcz 12492  ℜcre 15024  ℑcim 15025  ℤ[i]cgz 16861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6449  df-fv 6501  df-gz 16862

This theorem is referenced by:  gznegcl  16867  gzcjcl  16868  gzaddcl  16869  gzmulcl  16870  gzsubcl  16872  gzabssqcl  16873  4sqlem4a  16883  4sqlem4  16884  mul4sqlem  16885  mul4sq  16886  4sqlem12  16888  4sqlem17  16893  gzsubrg  21380  gzrngunitlem  21391  gzrngunit  21392  2sqlem2  27389  mul2sq  27390  2sqlem3  27391  cntotbnd  37999