Theorem gzcn 16844

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  ℤcz 12471  ℜcre 15004  ℑcim 15005  ℤ[i]cgz 16841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-iota 6438  df-fv 6490  df-gz 16842

This theorem is referenced by:  gznegcl  16847  gzcjcl  16848  gzaddcl  16849  gzmulcl  16850  gzsubcl  16852  gzabssqcl  16853  4sqlem4a  16863  4sqlem4  16864  mul4sqlem  16865  mul4sq  16866  4sqlem12  16868  4sqlem17  16873  gzsubrg  21328  gzrngunitlem  21339  gzrngunit  21340  2sqlem2  27327  mul2sq  27328  2sqlem3  27329  cntotbnd  37786