Theorem gzcn 16898

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1152	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  ℂcc 11031  ℤcz 12519  ℜcre 15054  ℑcim 15055  ℤ[i]cgz 16895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-iota 6445  df-fv 6497  df-gz 16896

This theorem is referenced by:  gznegcl  16901  gzcjcl  16902  gzaddcl  16903  gzmulcl  16904  gzsubcl  16906  gzabssqcl  16907  4sqlem4a  16917  4sqlem4  16918  mul4sqlem  16919  mul4sq  16920  4sqlem12  16922  4sqlem17  16927  gzsubrg  21400  gzrngunitlem  21411  gzrngunit  21412  2sqlem2  27403  mul2sq  27404  2sqlem3  27405  cntotbnd  38178