Theorem gzcn 16952

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 16951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  ℤcz 12588  ℜcre 15116  ℑcim 15117  ℤ[i]cgz 16949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-iota 6484  df-fv 6539  df-gz 16950

This theorem is referenced by:  gznegcl  16955  gzcjcl  16956  gzaddcl  16957  gzmulcl  16958  gzsubcl  16960  gzabssqcl  16961  4sqlem4a  16971  4sqlem4  16972  mul4sqlem  16973  mul4sq  16974  4sqlem12  16976  4sqlem17  16981  gzsubrg  21389  gzrngunitlem  21400  gzrngunit  21401  2sqlem2  27381  mul2sq  27382  2sqlem3  27383  cntotbnd  37820