Theorem gzcn 17057

Description: A gaussian integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcn	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem gzcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elgz 17056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  ℂcc 11155  ℤcz 12648  ℜcre 15217  ℑcim 15218  ℤ[i]cgz 17054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6484  df-fv 6536  df-gz 17055

This theorem is used by:  gznegcl  17060  gzcjcl  17061  gzaddcl  17062  gzmulcl  17063  gzsubcl  17065  gzabssqcl  17066  4sqlem4a  17076  4sqlem4  17077  mul4sqlem  17078  mul4sq  17079  4sqlem12  17081  4sqlem17  17086  gzsubrg  21674  gzrngunitlem  21685  gzrngunit  21686  2sqlem2  27694  mul2sq  27695  2sqlem3  27696  cntotbnd  38644