2sqlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem3 27331

Description: Lemma for 2sqlem5 27333. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem4.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		2sqlem4.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gzreim 16910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5		2sqlem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		2sqlem4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
7		gzreim 16910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9		gzmulcl 16909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
10	4, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11		gzcn 16903	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13		2sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
14		prmnn 16644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
18	12, 16, 17	divcld 11958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
19	15	nnred 12201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
20	19, 12, 17	redivd 15195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21		prmz 16645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25		2sqlem5.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26, 24	zmulcld 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28		dvdsmul2 16248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
29	22, 22, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
30	16	sqvald 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
31	29, 30	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32		dvdsmul2 16248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
33	26, 24, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
34	22, 24, 27, 31, 33	dvdstrd 16265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35		gzcn 16903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39		gzcn 16903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
40	8, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
43	38, 42	sqmuld 14123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
44	1	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	2	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46	44, 45	crred 15197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
47	46	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
48	44, 45	crimd 15198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
49	48	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
50	47, 49	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
51	36	absvalsq2d 15412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52		2sqlem4.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
53	50, 51, 52	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
54	5	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
55	6	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
56	54, 55	crred 15197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
57	56	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
58	54, 55	crimd 15198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
59	58	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
60	57, 59	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
61	40	absvalsq2d 15412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62		2sqlem4.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
63	60, 61, 62	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
64	53, 63	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
65	25	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65, 16, 16	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
67	43, 64, 66	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
68	36, 40	absmuld 15423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
69	68	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
70	30	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
71	67, 69, 70	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
72	34, 71	breqtrrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
73	12	absvalsq2d 15412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74		elgz 16902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
75	74	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
76	10, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
79	78	zcnd 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
80	74	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
81	10, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
84	83	zcnd 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
85	79, 84	addcomd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
86	73, 85	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
87	72, 86	breqtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88		2sqlem4.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
89	5	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	2	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
92	1	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	6	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
94	92, 93	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
95	91, 94	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
96	89, 90	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
97	96	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
98	95, 97	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
99	88, 98	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
100	36, 40	immuld 15185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
101	46, 58	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
102	48, 56	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103	101, 102	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104	100, 103	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
105	99, 104	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106		2nn 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108		prmdvdsexp 16685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
109	13, 81, 107, 108	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110	105, 109	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111		dvdsadd2b 16276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
112	22, 78, 83, 110, 111	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
113	87, 112	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114		prmdvdsexp 16685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
115	13, 76, 107, 114	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116	113, 115	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
117		dvdsval2 16225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
118	22, 17, 76, 117	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
119	116, 118	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
120	20, 119	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
121	19, 12, 17	imdivd 15196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
122		dvdsval2 16225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
123	22, 17, 81, 122	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
124	105, 123	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
125	121, 124	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
126		elgz 16902	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
127	18, 120, 125, 126	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
128	12, 16, 17	absdivd 15424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
129	15	nnnn0d 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
130	129	nn0ge0d 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
131	19, 130	absidd 15389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
132	131	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
133	128, 132	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134	133	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
135	12	abscld 15405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
136	135	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
137	136, 16, 17	sqdivd 14124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
138	71	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
139	15	nnsqcld 14209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
140	139	nncnd 12202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
141	139	nnne0d 12236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ≠ 0)
142	65, 140, 141	divcan4d 11964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
143	138, 142	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144	134, 137, 143	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
145		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
146	145	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
147	146	rspceeqv 3611	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
148	127, 144, 147	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
150	149	2sqlem1 27328	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
151	148, 150	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5188 ran crn 5639 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 0cc0 11068 ici 11070 + caddc 11071 · cmul 11073 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 ℤcz 12529 ↑cexp 14026 ℜcre 15063 ℑcim 15064 abscabs 15200 ∥ cdvds 16222 ℙcprime 16641 ℤ[i]cgz 16900

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-dvds 16223 df-gcd 16465 df-prm 16642 df-gz 16901

This theorem is referenced by: 2sqlem4 27332

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