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Theorem 2sqlem3 26116
 Description: Lemma for 2sqlem5 26118. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2sqlem4.9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem3 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 gzreim 16343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
41, 2, 3syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
7 gzreim 16343 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
85, 6, 7syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
9 gzmulcl 16342 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i]) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
104, 8, 9syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i])
11 gzcn 16336 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
14 prmnn 16083 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1615nncnd 11703 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1715nnne0d 11737 . . . . 5 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1812, 16, 17divcld 11467 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ)
1915nnred 11702 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2019, 12, 17redivd 14649 . . . . 5 (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
21 prmz 16084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2213, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
23 zsqcl 13557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
25 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 12138 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2726, 24zmulcld 12145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) ∈ ℤ)
28 dvdsmul2 15693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
2922, 22, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝑃))
3016sqvald 13570 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
3129, 30breqtrrd 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃↑2))
32 dvdsmul2 15693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ) → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
3326, 24, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑2) ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
3422, 24, 27, 31, 33dvdstrd 15709 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ (𝑁 · (𝑃↑2)))
35 gzcn 16336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
364, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
3736abscld 14857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3837recnd 10720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
39 gzcn 16336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
408, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
4140abscld 14857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
4241recnd 10720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
4338, 42sqmuld 13585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
441zred 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
452zred 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4644, 45crred 14651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
4746oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
4844, 45crimd 14652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
4948oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
5047, 49oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
5136absvalsq2d 14864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
52 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
5350, 51, 523eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝑁 · 𝑃))
545zred 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
556zred 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5654, 55crred 14651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
5756oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
5854, 55crimd 14652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
5958oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
6057, 59oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
6140absvalsq2d 14864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
62 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
6360, 61, 623eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = 𝑃)
6453, 63oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃))
6525nncnd 11703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6665, 16, 16mulassd 10715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑃) · 𝑃) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
6743, 64, 663eqtrd 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
6836, 40absmuld 14875 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
6968oveq1d 7171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
7030oveq2d 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑃↑2)) = (𝑁 · (𝑃 · 𝑃)))
7167, 69, 703eqtr4d 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (𝑁 · (𝑃↑2)))
7234, 71breqtrrd 5064 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
7312absvalsq2d 14864 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
74 elgz 16335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ))
7574simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
7610, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
77 zsqcl 13557 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
7978zcnd 12140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
8074simp3bi 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℤ[i] → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
8110, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ)
82 zsqcl 13557 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ)
8483zcnd 12140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℂ)
8579, 84addcomd 10893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
8673, 85eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
8772, 86breqtrd 5062 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2)))
88 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
895zcnd 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
902zcnd 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
9189, 90mulcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
921zcnd 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
936zcnd 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9492, 93mulcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
9591, 94addcomd 10893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
9689, 90mulcomd 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
9796oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
9895, 97eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
9988, 98breqtrd 5062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
10036, 40immuld 14639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
10146, 58oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
10248, 56oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
103101, 102oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
104100, 103eqtrd 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
10599, 104breqtrrd 5064 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
106 2nn 11760 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
108 prmdvdsexp 16124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
10913, 81, 107, 108syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
110105, 109mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
111 dvdsadd2b 15720 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
11222, 78, 83, 110, 111syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) + ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))))
11387, 112mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
114 prmdvdsexp 16124 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
11513, 76, 107, 114syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) ↔ 𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))))
116113, 115mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))
117 dvdsval2 15671 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
11822, 17, 76, 117syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
119116, 118mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
12020, 119eqeltrd 2852 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
12119, 12, 17imdivd 14650 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
122 dvdsval2 15671 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
12322, 17, 81, 122syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ↔ ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ))
124105, 123mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃) ∈ ℤ)
125121, 124eqeltrd 2852 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ)
126 elgz 16335 . . . 4 ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ↔ ((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) ∈ ℤ))
12718, 120, 125, 126syl3anbrc 1340 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i])
12812, 16, 17absdivd 14876 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)))
12915nnnn0d 12007 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
130129nn0ge0d 12010 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
13119, 130absidd 14843 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑃) = 𝑃)
132131oveq2d 7172 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / (abs‘𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
133128, 132eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)) = ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃))
134133oveq1d 7171 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2))
13512abscld 14857 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℝ)
136135recnd 10720 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) ∈ ℂ)
137136, 16, 17sqdivd 13586 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) / 𝑃)↑2) = (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)))
13871oveq1d 7171 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)))
13915nnsqcld 13668 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℕ)
140139nncnd 11703 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
141139nnne0d 11737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ≠ 0)
14265, 140, 141divcan4d 11473 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 · (𝑃↑2)) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
143138, 142eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) / (𝑃↑2)) = 𝑁)
144134, 137, 1433eqtrrd 2798 . . 3 (𝜑𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
145 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → (abs‘𝑥) = (abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃)))
146145oveq1d 7171 . . . 4 (𝑥 = (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) → ((abs‘𝑥)↑2) = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2))
147146rspceeqv 3558 . . 3 (((((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑁 = ((abs‘(((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) / 𝑃))↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
148127, 144, 147syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
149 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
1501492sqlem1 26113 . 2 (𝑁𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 𝑁 = ((abs‘𝑥)↑2))
151148, 150sylibr 237 1 (𝜑𝑁𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  ici 10590   + caddc 10591   · cmul 10593   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  ℤcz 12033  ↑cexp 13492  ℜcre 14517  ℑcim 14518  abscabs 14654   ∥ cdvds 15668  ℙcprime 16080  ℤ[i]cgz 16333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-gz 16334 This theorem is referenced by:  2sqlem4  26117
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