MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem3 27159
Description: Lemma for 2sqlem5 27161. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem4.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
2sqlem4.9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3 gzreim 16876 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i])
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i])
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
7 gzreim 16876 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i])
85, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i])
9 gzmulcl 16875 . . . . . . 7 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i])
104, 8, 9syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i])
11 gzcn 16869 . . . . . 6 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 prmnn 16615 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
1812, 16, 17divcld 11994 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
1915nnred 12231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2019, 12, 17redivd 15180 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
21 prmz 16616 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2213, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14098 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
25 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2726, 24zmulcld 12676 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
28 dvdsmul2 16226 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
2922, 22, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
3016sqvald 14112 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
3129, 30breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘2))
32 dvdsmul2 16226 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
3326, 24, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
3422, 24, 27, 31, 33dvdstrd 16242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
35 gzcn 16869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
364, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3736abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3837recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
39 gzcn 16869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
408, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
4140abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„)
4241recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
4338, 42sqmuld 14127 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)))
441zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
452zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4644, 45crred 15182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
4746oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
4844, 45crimd 15183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)
4948oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
5047, 49oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
5136absvalsq2d 15394 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2)))
52 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
5350, 51, 523eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
545zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
556zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
5654, 55crred 15182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ถ)
5756oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (๐ถโ†‘2))
5854, 55crimd 15183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ท)
5958oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
6057, 59oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
6140absvalsq2d 15394 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)))
62 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
6360, 61, 623eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = ๐‘ƒ)
6453, 63oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) ยท ๐‘ƒ))
6525nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6665, 16, 16mulassd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
6743, 64, 663eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
6836, 40absmuld 15405 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
6968oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
7030oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
7167, 69, 703eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)))
7234, 71breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
7312absvalsq2d 15394 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
74 elgz 16868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†” (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค))
7574simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
7610, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
77 zsqcl 14098 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
7978zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8074simp3bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
8110, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
82 zsqcl 14098 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8483zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8579, 84addcomd 11420 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)) = (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
8673, 85eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
8772, 86breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2)))
88 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
895zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
902zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9189, 90mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
921zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
936zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9492, 93mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
9591, 94addcomd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))
9689, 90mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ))
9796oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
9895, 97eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
9988, 98breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
10036, 40immuld 15170 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
10146, 58oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ด ยท ๐ท))
10248, 56oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ต ยท ๐ถ))
103101, 102oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
104100, 103eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
10599, 104breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
106 2nn 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
108 prmdvdsexp 16656 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
10913, 81, 107, 108syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
110105, 109mpbird 256 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
111 dvdsadd2b 16253 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))))
11222, 78, 83, 110, 111syl112anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) + ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))))
11387, 112mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
114 prmdvdsexp 16656 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
11513, 76, 107, 114syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
116113, 115mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
117 dvdsval2 16204 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
11822, 17, 76, 117syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
119116, 118mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
12020, 119eqeltrd 2831 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
12119, 12, 17imdivd 15181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
122 dvdsval2 16204 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
12322, 17, 81, 122syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โ†” ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค))
124105, 123mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
125121, 124eqeltrd 2831 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
126 elgz 16868 . . . 4 ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i] โ†” ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค))
12718, 120, 125, 126syl3anbrc 1341 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i])
12812, 16, 17absdivd 15406 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / (absโ€˜๐‘ƒ)))
12915nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
130129nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
13119, 130absidd 15373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
132131oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / (absโ€˜๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
133128, 132eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)) = ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ))
134133oveq1d 7426 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ)โ†‘2))
13512abscld 15387 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„)
136135recnd 11246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
137136, 16, 17sqdivd 14128 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) / ๐‘ƒ)โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)))
13871oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) / (๐‘ƒโ†‘2)))
13915nnsqcld 14211 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„•)
140139nncnd 12232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
141139nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰  0)
14265, 140, 141divcan4d 12000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ƒโ†‘2)) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ๐‘)
143138, 142eqtrd 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) / (๐‘ƒโ†‘2)) = ๐‘)
144134, 137, 1433eqtrrd 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2))
145 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘ฅ = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ)))
146145oveq1d 7426 . . . 4 (๐‘ฅ = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2))
147146rspceeqv 3632 . . 3 (((((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ = ((absโ€˜(((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) / ๐‘ƒ))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
148127, 144, 147syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
149 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
1501492sqlem1 27156 . 2 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐‘ = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
151148, 150sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  ran crn 5676  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14031  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612  โ„ค[i]cgz 16866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-gz 16867
This theorem is referenced by:  2sqlem4  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator