Theorem gzaddcl 16903

Description: The gaussian integers are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2		gzcn 16898	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcl 11115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		readd 15083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
6	1, 2, 5	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
7		elgz 16897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
8	7	simp2bi 1153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16897	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simp2bi 1153	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
11		zaddcl 12562	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
13	6, 12	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
14		imadd 15091	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
15	1, 2, 14	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
16	7	simp3bi 1154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
17	9	simp3bi 1154	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
18		zaddcl 12562	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
20	15, 19	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
21		elgz 16897	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i] ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ))
22	4, 13, 20, 21	syl3anbrc 1351	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   + caddc 11036  ℤcz 12519  ℜcre 15054  ℑcim 15055  ℤ[i]cgz 16895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-gz 16896

This theorem is referenced by:  gzreim  16905  gzsubcl  16906  mul4sqlem  16919  gzsubrg  21400