Theorem gzaddcl 16903

Description: The gaussian integers are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2		gzcn 16898	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcl 11115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		readd 15083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
6	1, 2, 5	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
7		elgz 16897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
8	7	simp2bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16897	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simp2bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
11		zaddcl 12562	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
13	6, 12	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
14		imadd 15091	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
15	1, 2, 14	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
16	7	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
17	9	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
18		zaddcl 12562	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
20	15, 19	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
21		elgz 16897	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i] ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ))
22	4, 13, 20, 21	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031   + caddc 11036  ℤcz 12519  ℜcre 15054  ℑcim 15055  ℤ[i]cgz 16895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-gz 16896

This theorem is referenced by:  gzreim  16905  gzsubcl  16906  mul4sqlem  16919  gzsubrg  21415