MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2sq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2sq 27293
Description: Fibonacci's identity (actually due to Diophantus). The product of two sums of two squares is also a sum of two squares. We can take advantage of Gaussian integers here to trivialize the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
Assertion
Ref Expression
mul2sq ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem mul2sq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
212sqlem1 27291 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
312sqlem1 27291 . 2 (๐ต โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2))
4 reeanv 3218 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
5 gzmulcl 16876 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค[i])
6 gzcn 16870 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 gzcn 16870 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
8 absmul 15243 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)))
96, 7, 8syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)))
109oveq1d 7417 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2))
116abscld 15385 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1211recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
137abscld 15385 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1413recnd 11241 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
15 sqmul 14085 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
1612, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
1710, 16eqtr2d 2765 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2))
18 fveq2 6882 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
1918oveq1d 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2))
2019rspceeqv 3626 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
215, 17, 20syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
2212sqlem1 27291 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
2321, 22sylibr 233 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
24 oveq12 7411 . . . . . 6 ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
2524eleq1d 2810 . . . . 5 ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†” (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
2726rexlimivv 3191 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
284, 27sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
292, 3, 28syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   โ†ฆ cmpt 5222  ran crn 5668  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105   ยท cmul 11112  2c2 12266  โ†‘cexp 14028  abscabs 15183  โ„ค[i]cgz 16867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-gz 16868
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator