MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2sq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2sq 26770
Description: Fibonacci's identity (actually due to Diophantus). The product of two sums of two squares is also a sum of two squares. We can take advantage of Gaussian integers here to trivialize the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
Assertion
Ref Expression
mul2sq ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem mul2sq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
212sqlem1 26768 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
312sqlem1 26768 . 2 (๐ต โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2))
4 reeanv 3218 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
5 gzmulcl 16811 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค[i])
6 gzcn 16805 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 gzcn 16805 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
8 absmul 15180 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)))
96, 7, 8syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)))
109oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2))
116abscld 15322 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
1211recnd 11184 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
137abscld 15322 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1413recnd 11184 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
15 sqmul 14025 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
1612, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ))โ†‘2) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
1710, 16eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2))
18 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2))
2019rspceeqv 3596 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
215, 17, 20syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
2212sqlem1 26768 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
2321, 22sylibr 233 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
24 oveq12 7367 . . . . . 6 ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)))
2524eleq1d 2823 . . . . 5 ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†” (((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) ยท ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†))
2623, 25syl5ibrcom 247 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
2726rexlimivv 3197 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
284, 27sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = ((absโ€˜๐‘ฆ)โ†‘2)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
292, 3, 28syl2anb 599 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  2c2 12209  โ†‘cexp 13968  abscabs 15120  โ„ค[i]cgz 16802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-gz 16803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator