MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zgz 15967
Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
zgz (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem zgz
StepHypRef Expression
1 zcn 11667 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 zre 11666 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32rered 14302 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
4 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
53, 4eqeltrd 2876 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
62reim0d 14303 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) = 0)
7 0z 11673 . . 3 0 ∈ ℤ
86, 7syl6eqel 2884 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9 elgz 15965 . 2 (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
101, 5, 8, 9syl3anbrc 1444 1 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  cfv 6099  cc 10220  0cc0 10222  cz 11662  cre 14175  cim 14176  ℤ[i]cgz 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-2 11372  df-z 11663  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-gz 15964
This theorem is referenced by:  gzreim  15973  mul4sqlem  15987  4sqlem13  15991  4sqlem19  15997  gzsubrg  20119  zringunit  20155  2sqlem9  25501  2sqlem10  25502
  Copyright terms: Public domain W3C validator