Theorem zgz 16325

Description: An integer is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zgz	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem zgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zre 12025	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rered 14632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5	3, 4	eqeltrd 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	2	reim0d 14633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) = 0)
7		0z 12032	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	6, 7	eqeltrdi 2861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10	1, 5, 8, 9	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  ℂcc 10574  0cc0 10576  ℤcz 12021  ℜcre 14505  ℑcim 14506  ℤ[i]cgz 16321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-2 11738  df-z 12022  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-gz 16322

This theorem is referenced by:  gzreim  16331  mul4sqlem  16345  4sqlem13  16349  4sqlem19  16355  gzsubrg  20221  zringunit  20257  2sqlem9  26111  2sqlem10  26112