MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem2 27371
Description: Lemma for 2sq 27383. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
212sqlem1 27370 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
3 elgz 16907 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค))
43simp2bi 1143 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
53simp3bi 1144 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 gzcn 16908 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
76absvalsq2d 15430 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
8 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
98oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
109eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
11 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))
1211oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
1312eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))))
1410, 13rspc2ev 3624 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
154, 5, 7, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
16 eqeq1 2732 . . . . . 6 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
17162rexbidv 3217 . . . . 5 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1918rexlimiv 3145 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
202, 19sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
21 gzreim 16915 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i])
22 zcn 12601 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
23 ax-icn 11205 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
24 zcn 12601 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11230 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
2623, 24, 25sylancr 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11228 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2822, 26, 27syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2928absvalsq2d 15430 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)))
30 zre 12600 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
31 zre 12600 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
32 crre 15101 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3330, 31, 32syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3433oveq1d 7441 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฅโ†‘2))
35 crim 15102 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3630, 31, 35syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3736oveq1d 7441 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
3834, 37oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3929, 38eqtr2d 2769 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
40 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
4140oveq1d 7441 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
4241rspceeqv 3633 . . . . . 6 (((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4321, 39, 42syl2anc 582 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4412sqlem1 27370 . . . . 5 (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4543, 44sylibr 233 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
46 eleq1 2817 . . . 4 (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
4847rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
4920, 48impbii 208 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   โ†ฆ cmpt 5235  ran crn 5683  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151  2c2 12305  โ„คcz 12596  โ†‘cexp 14066  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085  abscabs 15221  โ„ค[i]cgz 16905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-gz 16906
This theorem is referenced by:  2sqlem5  27375  2sqlem7  27377  2sq  27383
  Copyright terms: Public domain W3C validator