MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem2 26769
Description: Lemma for 2sq 26781. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
212sqlem1 26768 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
3 elgz 16804 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค))
43simp2bi 1147 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
53simp3bi 1148 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 gzcn 16805 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
76absvalsq2d 15329 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
8 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
98oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
109eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
11 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))
1211oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
1312eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))))
1410, 13rspc2ev 3593 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
154, 5, 7, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
16 eqeq1 2741 . . . . . 6 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
17162rexbidv 3214 . . . . 5 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1815, 17syl5ibrcom 247 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1918rexlimiv 3146 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
202, 19sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
21 gzreim 16812 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i])
22 zcn 12505 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
23 ax-icn 11111 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
24 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11136 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
2623, 24, 25sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11134 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2822, 26, 27syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2928absvalsq2d 15329 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)))
30 zre 12504 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
31 zre 12504 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
32 crre 15000 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3330, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3433oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฅโ†‘2))
35 crim 15001 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3630, 31, 35syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3736oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
3834, 37oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3929, 38eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
40 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
4140oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
4241rspceeqv 3596 . . . . . 6 (((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4321, 39, 42syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4412sqlem1 26768 . . . . 5 (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4543, 44sylibr 233 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
46 eleq1 2826 . . . 4 (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†))
4745, 46syl5ibrcom 247 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
4847rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
4920, 48impbii 208 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  ici 11054   + caddc 11055   ยท cmul 11057  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968  โ„œcre 14983  โ„‘cim 14984  abscabs 15120  โ„ค[i]cgz 16802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-gz 16803
This theorem is referenced by:  2sqlem5  26773  2sqlem7  26775  2sq  26781
  Copyright terms: Public domain W3C validator