Theorem 2sqlem2 27356

Description: Lemma for 2sq 27368. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2	1	2sqlem1 27355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2))
3		elgz 16843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
4	3	simp2bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
5	3	simp3bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
6		gzcn 16844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	absvalsq2d 15353	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
8		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥↑2) = ((ℜ‘𝑧)↑2))
9	8	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)))
10	9	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2))))
11		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (𝑦↑2) = ((ℑ‘𝑧)↑2))
12	11	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
13	12	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))))
14	10, 13	rspc2ev 3585	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
16		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
17	16	2rexbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
19	18	rexlimiv 3126	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
20	2, 19	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
21		gzreim 16851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i])
22		zcn 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23		ax-icn 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
24		zcn 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
25		mulcl 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27		addcl 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
29	28	absvalsq2d 15353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)))
30		zre 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
31		zre 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
32		crre 15021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
33	30, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑥↑2))
35		crim 15022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
36	30, 31, 35	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
37	36	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑦↑2))
38	34, 37	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	29, 38	eqtr2d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
40		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (abs‘𝑧) = (abs‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
41	40	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((abs‘𝑧)↑2) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
42	41	rspceeqv 3595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i] ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
43	21, 39, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
44	1	2sqlem1 27355	. . . . 5 ⊢ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
45	43, 44	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆)
46		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆))
47	45, 46	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
48	47	rexlimivv 3174	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
49	20, 48	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  ℤcz 12468  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  ℑcim 15005  abscabs 15141  ℤ[i]cgz 16841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-gz 16842

This theorem is referenced by:  2sqlem5  27360  2sqlem7  27362  2sq  27368