MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem2 27301
Description: Lemma for 2sq 27313. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
212sqlem1 27300 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
3 elgz 16870 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค))
43simp2bi 1143 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
53simp3bi 1144 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 gzcn 16871 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
76absvalsq2d 15393 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
8 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
98oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
109eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (โ„œโ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
11 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))
1211oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2)))
1312eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (โ„‘โ€˜๐‘ง) โ†’ (((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))))
1410, 13rspc2ev 3619 . . . . . 6 (((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = (((โ„œโ€˜๐‘ง)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐‘ง)โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
154, 5, 7, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
16 eqeq1 2730 . . . . . 6 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
17162rexbidv 3213 . . . . 5 (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
1918rexlimiv 3142 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
202, 19sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
21 gzreim 16878 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i])
22 zcn 12564 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
23 ax-icn 11168 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
24 zcn 12564 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
2623, 24, 25sylancr 586 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 addcl 11191 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2822, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
2928absvalsq2d 15393 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)))
30 zre 12563 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
31 zre 12563 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
32 crre 15064 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3330, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฅ)
3433oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฅโ†‘2))
35 crim 15065 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3630, 31, 35syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ๐‘ฆ)
3736oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
3834, 37oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3929, 38eqtr2d 2767 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
40 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) = (absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
4140oveq1d 7419 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2))
4241rspceeqv 3628 . . . . . 6 (((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))โ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4321, 39, 42syl2anc 583 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4412sqlem1 27300 . . . . 5 (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค[i] ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((absโ€˜๐‘ง)โ†‘2))
4543, 44sylibr 233 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
46 eleq1 2815 . . . 4 (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
4847rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
4920, 48impbii 208 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114  2c2 12268  โ„คcz 12559  โ†‘cexp 14029  โ„œcre 15047  โ„‘cim 15048  abscabs 15184  โ„ค[i]cgz 16868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-gz 16869
This theorem is referenced by:  2sqlem5  27305  2sqlem7  27307  2sq  27313
  Copyright terms: Public domain W3C validator