Theorem 2sqlem2 27654

Description: Lemma for 2sq 27666. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2	1	2sqlem1 27653	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2))
3		elgz 17023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
4	3	simp2bi 1164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
5	3	simp3bi 1165	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
6		gzcn 17024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	absvalsq2d 15533	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
8		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥↑2) = ((ℜ‘𝑧)↑2))
9	8	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)))
10	9	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2))))
11		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (𝑦↑2) = ((ℑ‘𝑧)↑2))
12	11	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
13	12	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))))
14	10, 13	rspc2ev 3589	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
16		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
17	16	2rexbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
18	15, 17	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
19	18	rexlimiv 3156	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
20	2, 19	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
21		gzreim 17031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i])
22		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23		ax-icn 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
24		zcn 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
25		mulcl 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27		addcl 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
29	28	absvalsq2d 15533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)))
30		zre 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
31		zre 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
32		crre 15201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
33	30, 31, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑥↑2))
35		crim 15202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
36	30, 31, 35	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
37	36	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑦↑2))
38	34, 37	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	29, 38	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
40		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (abs‘𝑧) = (abs‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
41	40	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((abs‘𝑧)↑2) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
42	41	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i] ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
43	21, 39, 42	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
44	1	2sqlem1 27653	. . . . 5 ⊢ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
45	43, 44	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆)
46		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆))
47	45, 46	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
48	47	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
49	20, 48	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  ici 11126   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  ℤcz 12615  ↑cexp 14125  ℜcre 15184  ℑcim 15185  abscabs 15321  ℤ[i]cgz 17021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-gz 17022

This theorem is used by:  2sqlem5  27658  2sqlem7  27660  2sq  27666