Theorem gznegcl 16864

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11554	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1	renegd 15152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4		elgz 16860	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12664	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	1	imnegd 15153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
9	4	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	znegcld 12664	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
11	8, 10	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ)
12		elgz 16860	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ))
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  ℂcc 11104  -cneg 11441  ℤcz 12554  ℜcre 15040  ℑcim 15041  ℤ[i]cgz 16858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-z 12555  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-gz 16859

This theorem is referenced by:  gzsubcl  16869  gzsubrg  20984