Theorem gznegcl 16875

Description: The gaussian integers are closed under negation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gznegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gznegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11565	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1	renegd 15163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4		elgz 16871	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	1	imnegd 15164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
9	4	simp3bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	znegcld 12675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
11	8, 10	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ)
12		elgz 16871	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘-𝐴) ∈ ℤ))
13	2, 7, 11, 12	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -𝐴 ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  -cneg 11452  ℤcz 12565  ℜcre 15051  ℑcim 15052  ℤ[i]cgz 16869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-z 12566  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-gz 16870

This theorem is referenced by:  gzsubcl  16880  gzsubrg  21289