MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 20538
Description: Lemma for gzrngunit 20539. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 13546 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 10594 . . . . . 6 1 ≠ 0
3 gzsubrg 20527 . . . . . . 7 ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
54subrgring 19467 . . . . . . 7 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 subrgsubg 19470 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8 cnfld0 20497 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
94, 8subg0 18223 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g𝑍))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑍)
11 cnfld1 20498 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
124, 11subrg1 19474 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 = (1r𝑍))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑍)
146, 10, 130unit 19359 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3109 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑍)
174subrgbas 19473 . . . . . . . . . . 11 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] = (Base‘𝑍))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ[i] = (Base‘𝑍)
1918, 6unitcl 19338 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℤ[i])
20 gzabssqcl 16265 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11887 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0 ↔ (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2321, 22sylib 219 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2423ord 858 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
25 gzcn 16256 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2726abscld 14784 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
29 sqeq0 13474 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3126abs00ad 14638 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2897 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3332biimpcd 250 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝐴 = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3431, 33sylbid 241 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3530, 34sylbid 241 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3716, 36mt3i 151 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
3837nnge1d 11673 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
391, 38eqbrtrid 5092 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
4026absge0d 14792 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
41 1re 10629 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11151 . . . 4 0 ≤ 1
43 le2sq 13487 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 698 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4639, 45mpbird 258 1 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cexp 13417  abscabs 14581  ℤ[i]cgz 16253  Basecbs 16471  s cress 16472  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211  1rcur 19180  Ringcrg 19226  Unitcui 19318  SubRingcsubrg 19460  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-gz 16254  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-subrg 19462  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  gzrngunit  20539
  Copyright terms: Public domain W3C validator