Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 20156
 Description: Lemma for gzrngunit 20157. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 13554 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 10595 . . . . . 6 1 ≠ 0
3 gzsubrg 20145 . . . . . . 7 ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
54subrgring 19531 . . . . . . 7 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 subrgsubg 19534 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8 cnfld0 20115 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
94, 8subg0 18277 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g𝑍))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑍)
11 cnfld1 20116 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
124, 11subrg1 19538 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 = (1r𝑍))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑍)
146, 10, 130unit 19426 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3082 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑍)
174subrgbas 19537 . . . . . . . . . . 11 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] = (Base‘𝑍))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ[i] = (Base‘𝑍)
1918, 6unitcl 19405 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℤ[i])
20 gzabssqcl 16267 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11887 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0 ↔ (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2321, 22sylib 221 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2423ord 861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
25 gzcn 16258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2726abscld 14788 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
29 sqeq0 13482 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3126abs00ad 14642 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3332biimpcd 252 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝐴 = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3431, 33sylbid 243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3530, 34sylbid 243 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3716, 36mt3i 151 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
3837nnge1d 11673 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
391, 38eqbrtrid 5065 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
4026absge0d 14796 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
41 1re 10630 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11152 . . . 4 0 ≤ 1
43 le2sq 13495 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 701 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 587 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4639, 45mpbird 260 1 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  ↑cexp 13425  abscabs 14585  ℤ[i]cgz 16255  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  1rcur 19244  Ringcrg 19290  Unitcui 19385  SubRingcsubrg 19524  ℂfldccnfld 20091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-gz 16256  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-subrg 19526  df-cnfld 20092 This theorem is referenced by:  gzrngunit  20157
 Copyright terms: Public domain W3C validator