MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 21345
Description: Lemma for gzrngunit 21346. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 14176 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 11193 . . . . . 6 1 β‰  0
3 gzsubrg 21334 . . . . . . 7 β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
54subrgring 20495 . . . . . . 7 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
7 subrgsubg 20498 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
8 cnfld0 21300 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
94, 8subg0 19071 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘)
11 cnfld1 21301 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
124, 11subrg1 20503 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘)
146, 10, 130unit 20317 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3033 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)
174subrgbas 20502 . . . . . . . . . . 11 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] = (Baseβ€˜π‘))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 β„€[i] = (Baseβ€˜π‘)
1918, 6unitcl 20296 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„€[i])
20 gzabssqcl 16895 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
22 elnn0 12490 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0 ↔ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2423ord 863 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
25 gzcn 16886 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2726abscld 15401 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11258 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
29 sqeq0 14102 . . . . . . . 8 ((absβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3126abs00ad 15255 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2816 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3332biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (𝐴 = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3431, 33sylbid 239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3530, 34sylbid 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3716, 36mt3i 149 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•)
3837nnge1d 12276 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
391, 38eqbrtrid 5177 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
4026absge0d 15409 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
41 1re 11230 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11753 . . . 4 0 ≀ 1
43 le2sq 14116 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 701 . . 3 (((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4639, 45mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ≀ cle 11265  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β†‘cexp 14044  abscabs 15199  β„€[i]cgz 16883  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  0gc0g 17406  SubGrpcsubg 19059  1rcur 20105  Ringcrg 20157  Unitcui 20276  SubRingcsubrg 20488  β„‚fldccnfld 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-gz 16884  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19062  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-cnfld 21260
This theorem is referenced by:  gzrngunit  21346
  Copyright terms: Public domain W3C validator