MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 21367
Description: Lemma for gzrngunit 21368. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 14188 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 11205 . . . . . 6 1 β‰  0
3 gzsubrg 21356 . . . . . . 7 β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
54subrgring 20515 . . . . . . 7 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
7 subrgsubg 20518 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
8 cnfld0 21322 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
94, 8subg0 19089 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘)
11 cnfld1 21323 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
124, 11subrg1 20523 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘)
146, 10, 130unit 20337 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3028 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)
174subrgbas 20522 . . . . . . . . . . 11 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] = (Baseβ€˜π‘))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 β„€[i] = (Baseβ€˜π‘)
1918, 6unitcl 20316 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„€[i])
20 gzabssqcl 16907 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
22 elnn0 12502 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0 ↔ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2423ord 862 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
25 gzcn 16898 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2726abscld 15413 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11270 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
29 sqeq0 14114 . . . . . . . 8 ((absβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3126abs00ad 15267 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3332biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (𝐴 = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3431, 33sylbid 239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3530, 34sylbid 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3716, 36mt3i 149 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•)
3837nnge1d 12288 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
391, 38eqbrtrid 5178 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
4026absge0d 15421 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
41 1re 11242 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11765 . . . 4 0 ≀ 1
43 le2sq 14128 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 700 . . 3 (((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4639, 45mpbird 256 1 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  β†‘cexp 14056  abscabs 15211  β„€[i]cgz 16895  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418  SubGrpcsubg 19077  1rcur 20123  Ringcrg 20175  Unitcui 20296  SubRingcsubrg 20508  β„‚fldccnfld 21281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-gz 16896  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by:  gzrngunit  21368
  Copyright terms: Public domain W3C validator