MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 20156
Description: Lemma for gzrngunit 20157. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 13554 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 10595 . . . . . 6 1 ≠ 0
3 gzsubrg 20145 . . . . . . 7 ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℂflds ℤ[i])
54subrgring 19531 . . . . . . 7 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
7 subrgsubg 19534 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8 cnfld0 20115 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
94, 8subg0 18277 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g𝑍))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑍)
11 cnfld1 20116 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
124, 11subrg1 19538 . . . . . . . . 9 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 = (1r𝑍))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑍)
146, 10, 130unit 19426 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3082 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑍)
174subrgbas 19537 . . . . . . . . . . 11 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ[i] = (Base‘𝑍))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ[i] = (Base‘𝑍)
1918, 6unitcl 19405 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℤ[i])
20 gzabssqcl 16267 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11887 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ0 ↔ (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2321, 22sylib 221 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ ∨ ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
2423ord 861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = 0))
25 gzcn 16258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2726abscld 14788 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
29 sqeq0 13482 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = 0))
3126abs00ad 14642 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3332biimpcd 252 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝐴 = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3431, 33sylbid 243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3530, 34sylbid 243 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (((abs‘𝐴)↑2) = 0 → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (¬ ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ → 0 ∈ (Unit‘𝑍)))
3716, 36mt3i 151 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℕ)
3837nnge1d 11673 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
391, 38eqbrtrid 5065 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2))
4026absge0d 14796 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
41 1re 10630 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11152 . . . 4 0 ≤ 1
43 le2sq 13495 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 701 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 587 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → (1 ≤ (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) ≤ ((abs‘𝐴)↑2)))
4639, 45mpbird 260 1 (𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) → 1 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  cle 10665  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cexp 13425  abscabs 14585  ℤ[i]cgz 16255  Basecbs 16475  s cress 16476  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  1rcur 19244  Ringcrg 19290  Unitcui 19385  SubRingcsubrg 19524  fldccnfld 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-gz 16256  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-subrg 19526  df-cnfld 20092
This theorem is referenced by:  gzrngunit  20157
  Copyright terms: Public domain W3C validator