MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzrngunitlem 20885
Description: Lemma for gzrngunit 20886. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 14108 . . 3 (1↑2) = 1
2 ax-1ne0 11128 . . . . . 6 1 β‰  0
3 gzsubrg 20874 . . . . . . 7 β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„‚fld β†Ύs β„€[i])
54subrgring 20267 . . . . . . 7 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
7 subrgsubg 20270 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
8 cnfld0 20844 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
94, 8subg0 18942 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘)
11 cnfld1 20845 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
124, 11subrg1 20274 . . . . . . . . 9 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘))
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘)
146, 10, 130unit 20117 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0))
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 (0 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 1 = 0)
162, 15nemtbir 3037 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)
174subrgbas 20273 . . . . . . . . . . 11 (β„€[i] ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€[i] = (Baseβ€˜π‘))
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 β„€[i] = (Baseβ€˜π‘)
1918, 6unitcl 20096 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„€[i])
20 gzabssqcl 16821 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0)
22 elnn0 12423 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•0 ↔ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• ∨ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
2423ord 863 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = 0))
25 gzcn 16812 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„€[i] β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2726abscld 15330 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
29 sqeq0 14034 . . . . . . . 8 ((absβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = 0))
3126abs00ad 15184 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
32 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3332biimpcd 249 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (𝐴 = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3431, 33sylbid 239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3530, 34sylbid 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = 0 β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3624, 35syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„• β†’ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘)))
3716, 36mt3i 149 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„•)
3837nnge1d 12209 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
391, 38eqbrtrid 5144 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2))
4026absge0d 15338 . . 3 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
41 1re 11163 . . . 4 1 ∈ ℝ
42 0le1 11686 . . . 4 0 ≀ 1
43 le2sq 14048 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4441, 42, 43mpanl12 701 . . 3 (((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4527, 40, 44syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ (1 ≀ (absβ€˜π΄) ↔ (1↑2) ≀ ((absβ€˜π΄)↑2)))
4639, 45mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 1 ≀ (absβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β†‘cexp 13976  abscabs 15128  β„€[i]cgz 16809  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  0gc0g 17329  SubGrpcsubg 18930  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  SubRingcsubrg 20260  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-gz 16810  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-subrg 20262  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  gzrngunit  20886
  Copyright terms: Public domain W3C validator