Theorem gzmulcl 16868

Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16862	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2		gzcn 16862	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulcl 11112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
5		remul 15054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
7		elgz 16861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
8	7	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16861	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
11		zmulcl 12542	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
13	7	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	9	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
15		zmulcl 12542	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
16	13, 14, 15	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
17	12, 16	zsubcld 12603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℤ)
18	6, 17	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
19		immul 15061	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
20	1, 2, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
21		zmulcl 12542	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
22	8, 14, 21	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
23		zmulcl 12542	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
24	13, 10, 23	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 12602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℤ)
26	20, 25	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
27		elgz 16861	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i] ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ))
28	4, 18, 26, 27	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  ℤcz 12490  ℜcre 15022  ℑcim 15023  ℤ[i]cgz 16859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-gz 16860

This theorem is referenced by:  gzreim  16869  mul4sqlem  16883  gzsubrg  21378  mul2sq  27388  2sqlem3  27389