Theorem gzmulcl 16639

Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2		gzcn 16633	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulcl 10955	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
5		remul 14840	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
7		elgz 16632	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
8	7	simp2bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16632	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simp2bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
11		zmulcl 12369	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
13	7	simp3bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	9	simp3bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
15		zmulcl 12369	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
16	13, 14, 15	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
17	12, 16	zsubcld 12431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℤ)
18	6, 17	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
19		immul 14847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
20	1, 2, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
21		zmulcl 12369	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
22	8, 14, 21	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
23		zmulcl 12369	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
24	13, 10, 23	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 12430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℤ)
26	20, 25	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
27		elgz 16632	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i] ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ))
28	4, 18, 26, 27	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℜcre 14808  ℑcim 14809  ℤ[i]cgz 16630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-gz 16631

This theorem is referenced by:  gzreim  16640  mul4sqlem  16654  gzsubrg  20652  mul2sq  26567  2sqlem3  26568