Theorem gzmulcl 16871

Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2		gzcn 16865	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulcl 11194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
5		remul 15076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
7		elgz 16864	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
8	7	simp2bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
9		elgz 16864	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
10	9	simp2bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
11		zmulcl 12611	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
13	7	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	9	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
15		zmulcl 12611	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
16	13, 14, 15	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
17	12, 16	zsubcld 12671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℤ)
18	6, 17	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
19		immul 15083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
20	1, 2, 19	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
21		zmulcl 12611	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
22	8, 14, 21	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℤ)
23		zmulcl 12611	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
24	13, 10, 23	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 12670	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℤ)
26	20, 25	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ)
27		elgz 16864	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i] ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℤ))
28	4, 18, 26, 27	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  ℤcz 12558  ℜcre 15044  ℑcim 15045  ℤ[i]cgz 16862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-gz 16863

This theorem is referenced by:  gzreim  16872  mul4sqlem  16886  gzsubrg  20999  mul2sq  26922  2sqlem3  26923