MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzmulcl 16912
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 16906 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 gzcn 16906 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 11228 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 remul 15114 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
61, 2, 5syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7 elgz 16905 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค))
87simp2bi 1143 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
9 elgz 16905 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค))
109simp2bi 1143 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
11 zmulcl 12647 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
128, 10, 11syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
137simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
149simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
15 zmulcl 12647 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1712, 16zsubcld 12707 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
186, 17eqeltrd 2828 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
19 immul 15121 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
201, 2, 19syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
21 zmulcl 12647 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
228, 14, 21syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
23 zmulcl 12647 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2413, 10, 23syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 12706 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
2620, 25eqeltrd 2828 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
27 elgz 16905 . 2 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i] โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1340 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480  โ„คcz 12594  โ„œcre 15082  โ„‘cim 15083  โ„ค[i]cgz 16903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-gz 16904
This theorem is referenced by:  gzreim  16913  mul4sqlem  16927  gzsubrg  21359  mul2sq  27370  2sqlem3  27371
  Copyright terms: Public domain W3C validator