MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gzmulcl 16878
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 16872 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 gzcn 16872 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 11193 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 remul 15080 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
61, 2, 5syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7 elgz 16871 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค))
87simp2bi 1143 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
9 elgz 16871 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†” (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค))
109simp2bi 1143 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
11 zmulcl 12612 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
128, 10, 11syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
137simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
149simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
15 zmulcl 12612 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1712, 16zsubcld 12672 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
186, 17eqeltrd 2827 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
19 immul 15087 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
201, 2, 19syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
21 zmulcl 12612 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
228, 14, 21syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
23 zmulcl 12612 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2413, 10, 23syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2522, 24zaddcld 12671 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
2620, 25eqeltrd 2827 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
27 elgz 16871 . 2 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i] โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1340 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค[i])
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  โ„คcz 12559  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049  โ„ค[i]cgz 16869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-gz 16870
This theorem is referenced by:  gzreim  16879  mul4sqlem  16893  gzsubrg  21311  mul2sq  27303  2sqlem3  27304
  Copyright terms: Public domain W3C validator