Theorem 4sqlem4 16581

Description: Lemma for 4sq 16593. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝐴,𝑢   𝑆,𝑛,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2	1	4sqlem2 16578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
3		gzreim 16568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
5		gzreim 16568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
7		gzcn 16561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
9	8	absvalsq2d 15083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)))
10		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
11		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
12		crre 14753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
14	13	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑎↑2))
15		crim 14754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
16	10, 11, 15	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
17	16	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑏↑2))
18	14, 17	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
19	9, 18	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
20		gzcn 16561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
22	21	absvalsq2d 15083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
23		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℝ)
24		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
25		crre 14753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
26	23, 24, 25	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑐↑2))
28		crim 14754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
29	23, 24, 28	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
30	29	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑑↑2))
31	27, 30	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
32	22, 31	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
33	19, 32	oveqan12d 7274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
35		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (abs‘𝑢) = (abs‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
36	35	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((abs‘𝑢)↑2) = ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2))
37	36	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
38	37	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
39		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (abs‘𝑣) = (abs‘(𝑐 + (i · 𝑑))))
40	39	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((abs‘𝑣)↑2) = ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))
41	40	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
42	41	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))))
43	38, 42	rspc2ev 3564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] ∧ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
45		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
46	45	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
47	44, 46	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
48	47	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
49	48	rexlimivv 3220	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
50	2, 49	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
51	1	4sqlem4a 16580	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆)
52		eleq1a 2834	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆 → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
54	53	rexlimivv 3220	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
55	50, 54	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  ℑcim 14737  abscabs 14873  ℤ[i]cgz 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-gz 16559

This theorem is referenced by:  mul4sq  16583