Theorem 4sqlem4 16946

Description: Lemma for 4sq 16958. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝐴,𝑢   𝑆,𝑛,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2	1	4sqlem2 16943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
3		gzreim 16933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
4	3	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
5		gzreim 16933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
6	5	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
7		gzcn 16926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
9	8	absvalsq2d 15440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)))
10		zre 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
11		zre 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
12		crre 15111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
13	10, 11, 12	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
14	13	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑎↑2))
15		crim 15112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
16	10, 11, 15	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
17	16	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑏↑2))
18	14, 17	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
19	9, 18	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
20		gzcn 16926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
22	21	absvalsq2d 15440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
23		zre 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℝ)
24		zre 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
25		crre 15111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
26	23, 24, 25	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
27	26	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑐↑2))
28		crim 15112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
29	23, 24, 28	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
30	29	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑑↑2))
31	27, 30	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
32	22, 31	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
33	19, 32	oveqan12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
34	33	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
35		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (abs‘𝑢) = (abs‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
36	35	oveq1d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((abs‘𝑢)↑2) = ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2))
37	36	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
38	37	eqeq2d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
39		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (abs‘𝑣) = (abs‘(𝑐 + (i · 𝑑))))
40	39	oveq1d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((abs‘𝑣)↑2) = ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))
41	40	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
42	41	eqeq2d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))))
43	38, 42	rspc2ev 3620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] ∧ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
45		eqeq1 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
46	45	2rexbidv 3210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
47	44, 46	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
48	47	rexlimdvva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
49	48	rexlimivv 3190	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
50	2, 49	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
51	1	4sqlem4a 16945	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆)
52		eleq1a 2821	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆 → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
54	53	rexlimivv 3190	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
55	50, 54	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2703  ∃wrex 3060  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  ℝcr 11145  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151  2c2 12310  ℤcz 12601  ↑cexp 14072  ℜcre 15094  ℑcim 15095  abscabs 15231  ℤ[i]cgz 16923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-gz 16924

This theorem is referenced by:  mul4sq  16948