Theorem 4sqlem4 17011

Description: Lemma for 4sq 17023. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝐴,𝑢   𝑆,𝑛,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2	1	4sqlem2 17008	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
3		gzreim 16998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
5		gzreim 16998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
6	5	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
7		gzcn 16991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
9	8	absvalsq2d 15496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)))
10		zre 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
11		zre 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
12		crre 15164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
13	10, 11, 12	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
14	13	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑎↑2))
15		crim 15165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
16	10, 11, 15	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
17	16	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑏↑2))
18	14, 17	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
19	9, 18	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
20		gzcn 16991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
22	21	absvalsq2d 15496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
23		zre 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℝ)
24		zre 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
25		crre 15164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
26	23, 24, 25	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
27	26	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑐↑2))
28		crim 15165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
29	23, 24, 28	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
30	29	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑑↑2))
31	27, 30	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
32	22, 31	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
33	19, 32	oveqan12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
34	33	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
35		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (abs‘𝑢) = (abs‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
36	35	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((abs‘𝑢)↑2) = ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2))
37	36	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
38	37	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
39		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (abs‘𝑣) = (abs‘(𝑐 + (i · 𝑑))))
40	39	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((abs‘𝑣)↑2) = ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))
41	40	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
42	41	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))))
43	38, 42	rspc2ev 3593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] ∧ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
45		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
46	45	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
47	44, 46	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
48	47	rexlimdvva 3220	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
49	48	rexlimivv 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
50	2, 49	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
51	1	4sqlem4a 17010	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆)
52		eleq1a 2856	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆 → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
53	51, 52	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
54	53	rexlimivv 3205	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
55	50, 54	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3087  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  ℤcz 12590  ↑cexp 14096  ℜcre 15147  ℑcim 15148  abscabs 15284  ℤ[i]cgz 16988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-gz 16989

This theorem is referenced by:  mul4sq  17013