MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem4 16885
Description: Lemma for 4sq 16897. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐‘›,๐ด,๐‘ข   ๐‘†,๐‘›,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
214sqlem2 16882 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
3 gzreim 16872 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i])
43adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i])
5 gzreim 16872 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i])
65adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i])
7 gzcn 16865 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
83, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
98absvalsq2d 15390 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2)))
10 zre 12562 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
11 zre 12562 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
12 crre 15061 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘Ž)
1310, 11, 12syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘Ž)
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
15 crim 15062 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘)
1610, 11, 15syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = ๐‘)
1716oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
1814, 17oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2)) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
199, 18eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) = ((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
20 gzcn 16865 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
215, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
2221absvalsq2d 15390 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
23 zre 12562 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
24 zre 12562 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
25 crre 15061 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
2623, 24, 25syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
2726oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
28 crim 15062 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘‘)
2923, 24, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))) = ๐‘‘)
3029oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = (๐‘‘โ†‘2))
3127, 30oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))
3222, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))
3319, 32oveqan12d 7428 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
3433eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (absโ€˜๐‘ข) = (absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
3635oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2))
3736oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
3837eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ข = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฃ) = (absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘))))
4039oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2) = ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))
4140oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2)))
4241eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))))
4338, 42rspc2ev 3625 . . . . . . 7 (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (๐‘ + (i ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ค[i] โˆง (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))โ†‘2) + ((absโ€˜(๐‘ + (i ยท ๐‘‘)))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
444, 6, 34, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
45 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
46452rexbidv 3220 . . . . . 6 (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4744, 46syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4847rexlimdvva 3212 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2))))
4948rexlimivv 3200 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐ด = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
502, 49sylbi 216 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
5114sqlem4a 16884 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
52 eleq1a 2829 . . . 4 ((((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
5351, 52syl 17 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†))
5453rexlimivv 3200 . 2 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
5550, 54impbii 208 1 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘ฃ)โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆƒwrex 3071  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045  abscabs 15181  โ„ค[i]cgz 16862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-gz 16863
This theorem is referenced by:  mul4sq  16887
  Copyright terms: Public domain W3C validator