Theorem gzcjcl 15848

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℤ[i])

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 15844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 14145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1	recjd 14153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
4		elgz 15843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
5	4	simp2bi 1140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
6	3, 5	eqeltrd 2850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ)
7	1	imcjd 14154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
8	4	simp3bi 1141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	znegcld 11687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
10	7, 9	eqeltrd 2850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ)
11		elgz 15843	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℤ[i] ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(∗‘𝐴)) ∈ ℤ))
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1428	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (∗‘𝐴) ∈ ℤ[i])

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6032  ℂcc 10137  -cneg 10470  ℤcz 11580  ∗ccj 14045  ℜcre 14046  ℑcim 14047  ℤ[i]cgz 15841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-z 11581  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-gz 15842

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  15865  gzrngunit  20028