MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4sq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4sq 16834
Description: Euler's four-square identity: The product of two sums of four squares is also a sum of four squares. This is usually quoted as an explicit formula involving eight real variables; we save some time by working with complex numbers (gaussian integers) instead, so that we only have to work with four variables, and also hiding the actual formula for the product in the proof of mul4sqlem 16833. (For the curious, the explicit formula that is used is ( โˆฃ ๐‘Ž โˆฃ โ†‘2 + โˆฃ ๐‘ โˆฃ โ†‘2)( โˆฃ ๐‘ โˆฃ โ†‘2 + โˆฃ ๐‘‘ โˆฃ โ†‘2) = โˆฃ ๐‘Žโˆ— ยท ๐‘ + ๐‘ ยท ๐‘‘โˆ— โˆฃ โ†‘2 + โˆฃ ๐‘Žโˆ— ยท ๐‘‘ โˆ’ ๐‘ ยท ๐‘โˆ— โˆฃ โ†‘2.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
Assertion
Ref Expression
mul4sq ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘›   ๐ด,๐‘›   ๐‘†,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem mul4sq
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
214sqlem4 16832 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)))
314sqlem4 16832 . 2 (๐ต โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)))
4 reeanv 3216 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))))
5 reeanv 3216 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))))
6 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i])
7 gzabssqcl 16821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
9 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค[i])
10 gzabssqcl 16821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((absโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
128, 11nn0addcld 12485 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
1312nn0cnd 12483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
1413div1d 11931 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) / 1) = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)))
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค[i])
16 gzabssqcl 16821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((absโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
18 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])
19 gzabssqcl 16821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] โ†’ ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
2117, 20nn0addcld 12485 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
2221nn0cnd 12483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
2322div1d 11931 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) / 1) = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)))
2414, 23oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) / 1) ยท ((((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) / 1)) = ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) ยท (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))))
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2))
26 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))
27 1nn 12172 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
29 gzsubcl 16820 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค[i])
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค[i])
31 gzcn 16812 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3332div1d 11931 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ ๐‘) / 1) = (๐‘Ž โˆ’ ๐‘))
3433, 30eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ ๐‘) / 1) โˆˆ โ„ค[i])
35 gzsubcl 16820 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘‘) โˆˆ โ„ค[i])
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘‘) โˆˆ โ„ค[i])
37 gzcn 16812 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ ๐‘‘) โˆˆ โ„ค[i] โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
3938div1d 11931 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘‘) / 1) = (๐‘ โˆ’ ๐‘‘))
4039, 36eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘‘) / 1) โˆˆ โ„ค[i])
4114, 12eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) / 1) โˆˆ โ„•0)
421, 6, 9, 15, 18, 25, 26, 28, 34, 40, 41mul4sqlem 16833 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ (((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) / 1) ยท ((((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2)) / 1)) โˆˆ ๐‘†)
4324, 42eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) ยท (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โˆˆ ๐‘†)
44 oveq12 7370 . . . . . . . 8 ((๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) ยท (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))))
4544eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†” ((((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) ยท (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โˆˆ ๐‘†))
4643, 45syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
4746rexlimdvva 3202 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] (๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
485, 47biimtrrid 242 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
4948rexlimivv 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
504, 49sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ด = (((absโ€˜๐‘Ž)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค[i] โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค[i] ๐ต = (((absโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((absโ€˜๐‘‘)โ†‘2))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
512, 3, 50syl2anb 599 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆƒwrex 3070  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976  abscabs 15128  โ„ค[i]cgz 16809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-gz 16810
This theorem is referenced by:  4sqlem19  16843
  Copyright terms: Public domain W3C validator