4sqlem17 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem17		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 4sqlem17 16875

Description: Lemma for 4sq 16878. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem17	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2		4sq.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		4sq.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4		4sq.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		4sq.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
6		4sq.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
7		4sq.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
8		4sq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
9		4sq.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		4sq.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		4sq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12		4sq.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13		4sq.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14		4sq.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
15		4sq.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
16		4sq.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
17		4sq.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
18		4sq.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem16 16874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
20	19	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑀)
21	6	ssrab3 4075	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
22		nnuz 12846	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
23	21, 22	sseqtri 4013	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	4sqlem13 16871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
25	24	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
26		infssuzcl 12897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
27	23, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
28	7, 27	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
29	21, 28	sselid 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	24	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑃)
32	30, 31	ltned 11331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑃)
33	29	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
35	34	breq1d 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ (𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
36	29	nnzd 12566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37		prmz 16593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
38	4, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
39	29	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
40		dvdscmulr 16209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
41	36, 38, 36, 39, 40	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
42		dvdsprm 16621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
43	8, 4, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
44	35, 41, 43	3bitrd 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 = 𝑃))
45	44	necon3bbid 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 ≠ 𝑃))
46	32, 45	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem14 16872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)
48		elnn0 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
49	47, 48	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
50	49	ord 862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 = 0))
51		orc 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
52	19	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
53	51, 52	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
54	50, 53	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
55	46, 54	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
56		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
57	9, 10, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
58		gzcn 16846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
60	59	absvalsq2d 15371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
61	9	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
62	10	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	crred 15159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
64	63	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
65	61, 62	crimd 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
66	65	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
67	64, 66	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
68	60, 67	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
69		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
70	11, 12, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
71		gzcn 16846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
73	72	absvalsq2d 15371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
74	11	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
75	12	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
76	74, 75	crred 15159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
77	76	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
78	74, 75	crimd 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
79	78	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
80	77, 79	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
81	73, 80	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
82	68, 81	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
83	18, 82	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
84	83	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀))
85		prmnn 16592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
86	4, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
87	86	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
88	87, 33, 39	divcan3d 11976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = 𝑃)
89	84, 88	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) = 𝑃)
90	9, 29, 13	4sqlem5 16856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
91	90	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
92	10, 29, 14	4sqlem5 16856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
93	92	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
94		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
95	91, 93, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
96		gzcn 16846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i] → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
98	97	absvalsq2d 15371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)))
99	91	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
100	93	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
101	99, 100	crred 15159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐸)
102	101	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐸↑2))
103	99, 100	crimd 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐹)
104	103	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐹↑2))
105	102, 104	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
106	98, 105	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
107	11, 29, 15	4sqlem5 16856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
108	107	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
109	12, 29, 16	4sqlem5 16856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
110	109	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
111		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
112	108, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
113		gzcn 16846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i] → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
115	114	absvalsq2d 15371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)))
116	108	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
117	110	zred 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
118	116, 117	crred 15159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐺)
119	118	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐺↑2))
120	116, 117	crimd 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐻)
121	120	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐻↑2))
122	119, 121	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
123	115, 122	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
124	106, 123	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
125	124	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
126	125, 17	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = 𝑅)
127	89, 126	oveq12d 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑃 · 𝑅))
128	55	nncnd 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
129	87, 128	mulcomd 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑃))
130	127, 129	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑅 · 𝑃))
131		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2))
132		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2))
133	9	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
134		ax-icn 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
135	10	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
136		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
137	134, 135, 136	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
138	91	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
139	93	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
140		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
141	134, 139, 140	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
142	133, 137, 138, 141	addsub4d 11599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴 − 𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
143	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
144	143, 135, 139	subdid 11651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · (𝐵 − 𝐹)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐹)))
145	144	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐸) + (i · (𝐵 − 𝐹))) = ((𝐴 − 𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
146	142, 145	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴 − 𝐸) + (i · (𝐵 − 𝐹))))
147	146	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴 − 𝐸) + (i · (𝐵 − 𝐹))) / 𝑀))
148	133, 138	subcld 11552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
149	135, 139	subcld 11552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐹) ∈ ℂ)
150		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐹) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 − 𝐹)) ∈ ℂ)
151	134, 149, 150	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (i · (𝐵 − 𝐹)) ∈ ℂ)
152	148, 151, 33, 39	divdird 12009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐸) + (i · (𝐵 − 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵 − 𝐹)) / 𝑀)))
153	143, 149, 33, 39	divassd 12006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((i · (𝐵 − 𝐹)) / 𝑀) = (i · ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀)))
154	153	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵 − 𝐹)) / 𝑀)) = (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀))))
155	147, 152, 154	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀))))
156	90	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ)
157	92	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ)
158		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
159	156, 157, 158	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
160	155, 159	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
161	11	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
162	12	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
163		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
164	134, 162, 163	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
165	108	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
166	110	zcnd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
167		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ) → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
168	134, 166, 167	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
169	161, 164, 165, 168	addsub4d 11599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶 − 𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
170	143, 162, 166	subdid 11651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (i · (𝐷 − 𝐻)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐻)))
171	170	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐺) + (i · (𝐷 − 𝐻))) = ((𝐶 − 𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
172	169, 171	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶 − 𝐺) + (i · (𝐷 − 𝐻))))
173	172	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶 − 𝐺) + (i · (𝐷 − 𝐻))) / 𝑀))
174	161, 165	subcld 11552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐺) ∈ ℂ)
175	162, 166	subcld 11552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐻) ∈ ℂ)
176		mulcl 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐻) ∈ ℂ) → (i · (𝐷 − 𝐻)) ∈ ℂ)
177	134, 175, 176	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (i · (𝐷 − 𝐻)) ∈ ℂ)
178	174, 177, 33, 39	divdird 12009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐺) + (i · (𝐷 − 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷 − 𝐻)) / 𝑀)))
179	143, 175, 33, 39	divassd 12006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((i · (𝐷 − 𝐻)) / 𝑀) = (i · ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀)))
180	179	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷 − 𝐻)) / 𝑀)) = (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀))))
181	173, 178, 180	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀))))
182	107	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ)
183	109	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ)
184		gzreim 16853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
185	182, 183, 184	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
186	181, 185	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
187	86	nnnn0d 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
188	89, 187	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ₀)
189	1, 57, 70, 95, 112, 131, 132, 29, 160, 186, 188	mul4sqlem 16867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
190	130, 189	eqeltrrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆)
191		oveq1 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑅 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑅 · 𝑃))
192	191	eleq1d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑅 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
193	192, 6	elrab2 3681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑇 ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
194	55, 190, 193	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
195		infssuzle 12896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
196	23, 194, 195	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
197	7, 196	eqbrtrid 5175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑅)
198	55	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
199	198, 30	letri3d 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 𝑀 ↔ (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
200	20, 197, 199	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑀)
201	200	olcd 872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
202	201, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
203	202, 46	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∨ wo 845 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 {cab 2708 ≠ wne 2939 ∃wrex 3069 {crab 3431 ⊆ wss 3943 ∅c0 4317 class class class wbr 5140 ‘cfv 6531 (class class class)co 7392 infcinf 9417 ℂcc 11089 ℝcr 11090 0cc0 11091 1c1 11092 ici 11093 + caddc 11094 · cmul 11096 < clt 11229 ≤ cle 11230 − cmin 11425 / cdiv 11852 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12453 ℤcz 12539 ℤ_≥cuz 12803 ...cfz 13465 mod cmo 13815 ↑cexp 14008 ℜcre 15025 ℑcim 15026 abscabs 15162 ∥ cdvds 16178 ℙcprime 16589 ℤ[i]cgz 16843

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5277 ax-sep 5291 ax-nul 5298 ax-pow 5355 ax-pr 5419 ax-un 7707 ax-cnex 11147 ax-resscn 11148 ax-1cn 11149 ax-icn 11150 ax-addcl 11151 ax-addrcl 11152 ax-mulcl 11153 ax-mulrcl 11154 ax-mulcom 11155 ax-addass 11156 ax-mulass 11157 ax-distr 11158 ax-i2m1 11159 ax-1ne0 11160 ax-1rid 11161 ax-rnegex 11162 ax-rrecex 11163 ax-cnre 11164 ax-pre-lttri 11165 ax-pre-lttrn 11166 ax-pre-ltadd 11167 ax-pre-mulgt0 11168 ax-pre-sup 11169

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3474 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4943 df-iun 4991 df-br 5141 df-opab 5203 df-mpt 5224 df-tr 5258 df-id 5566 df-eprel 5572 df-po 5580 df-so 5581 df-fr 5623 df-we 5625 df-xp 5674 df-rel 5675 df-cnv 5676 df-co 5677 df-dm 5678 df-rn 5679 df-res 5680 df-ima 5681 df-pred 6288 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6483 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7348 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7838 df-1st 7956 df-2nd 7957 df-frecs 8247 df-wrecs 8278 df-recs 8352 df-rdg 8391 df-1o 8447 df-2o 8448 df-oadd 8451 df-er 8685 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-sup 9418 df-inf 9419 df-dju 9877 df-card 9915 df-pnf 11231 df-mnf 11232 df-xr 11233 df-ltxr 11234 df-le 11235 df-sub 11427 df-neg 11428 df-div 11853 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-n0 12454 df-xnn0 12526 df-z 12540 df-uz 12804 df-rp 12956 df-fz 13466 df-fl 13738 df-mod 13816 df-seq 13948 df-exp 14009 df-hash 14272 df-cj 15027 df-re 15028 df-im 15029 df-sqrt 15163 df-abs 15164 df-dvds 16179 df-gcd 16417 df-prm 16590 df-gz 16844

This theorem is referenced by: 4sqlem18 16876

W3C validator