MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem17 16833
Description: Lemma for 4sq 16836. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem17 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2 4sq.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 4sq.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4 4sq.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 4sq.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
6 4sq.6 . . . . . . 7 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
7 4sq.7 . . . . . . 7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
8 4sq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
9 4sq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
10 4sq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
11 4sq.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
12 4sq.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
13 4sq.e . . . . . . 7 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14 4sq.f . . . . . . 7 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
15 4sq.g . . . . . . 7 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
16 4sq.h . . . . . . 7 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
17 4sq.r . . . . . . 7 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
18 4sq.p . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 16832 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
2019simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑀)
216ssrab3 4040 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
22 nnuz 12806 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22sseqtri 3980 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 16829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
2524simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
26 infssuzcl 12857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2723, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
287, 27eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑇)
2921, 28sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3029nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3124simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 < 𝑃)
3230, 31ltned 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑃)
3329nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3433sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
3534breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ (𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
3629nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
37 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3929nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≠ 0)
40 dvdscmulr 16167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
4136, 38, 36, 39, 40syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
42 dvdsprm 16579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑀𝑃𝑀 = 𝑃))
438, 4, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀𝑃𝑀 = 𝑃))
4435, 41, 433bitrd 304 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 = 𝑃))
4544necon3bbid 2981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
4632, 45mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 16830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
48 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
4947, 48sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
5049ord 862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 = 0))
51 orc 865 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 0 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
5219simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5351, 52syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5450, 53syld 47 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5546, 54mt3d 148 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
56 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
579, 10, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
58 gzcn 16804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
6059absvalsq2d 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
619zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6210zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6361, 62crred 15116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
6463oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
6561, 62crimd 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
6665oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
6764, 66oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
6860, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
69 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
7011, 12, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
71 gzcn 16804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
7372absvalsq2d 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
7411zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7512zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7674, 75crred 15116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
7874, 75crimd 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
7978oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
8077, 79oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8173, 80eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8268, 81oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
8318, 82eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
8483oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀))
85 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
864, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8786nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8887, 33, 39divcan3d 11936 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = 𝑃)
8984, 88eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) = 𝑃)
909, 29, 134sqlem5 16814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
9190simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
9210, 29, 144sqlem5 16814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
9392simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
94 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
9591, 93, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
96 gzcn 16804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i] → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
9897absvalsq2d 15328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)))
9991zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
10093zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
10199, 100crred 15116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐸)
102101oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐸↑2))
10399, 100crimd 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐹)
104103oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐹↑2))
105102, 104oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
10698, 105eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
10711, 29, 154sqlem5 16814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
108107simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
10912, 29, 164sqlem5 16814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
110109simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
111 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
112108, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
113 gzcn 16804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i] → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
115114absvalsq2d 15328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)))
116108zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
117110zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
118116, 117crred 15116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐺)
119118oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐺↑2))
120116, 117crimd 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐻)
121120oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐻↑2))
122119, 121oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
123115, 122eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
124106, 123oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
125124oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
126125, 17eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = 𝑅)
12789, 126oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑃 · 𝑅))
12855nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
12987, 128mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑃))
130127, 129eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑅 · 𝑃))
131 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2))
132 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2))
1339zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
134 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
13510zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
136 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
137134, 135, 136sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
13891zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
13993zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
140 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
141134, 139, 140sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
142133, 137, 138, 141addsub4d 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
143134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → i ∈ ℂ)
144143, 135, 139subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · (𝐵𝐹)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐹)))
145144oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) = ((𝐴𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
146142, 145eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))))
147146oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) / 𝑀))
148133, 138subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ ℂ)
149135, 139subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ ℂ)
150 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐹) ∈ ℂ) → (i · (𝐵𝐹)) ∈ ℂ)
151134, 149, 150sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (i · (𝐵𝐹)) ∈ ℂ)
152148, 151, 33, 39divdird 11969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀)))
153143, 149, 33, 39divassd 11966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀) = (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀)))
154153oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀)) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))))
155147, 152, 1543eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))))
15690simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ)
15792simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ)
158 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
159156, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
160155, 159eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
16111zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
16212zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
163 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
164134, 162, 163sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
165108zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
166110zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
167 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ) → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
168134, 166, 167sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
169161, 164, 165, 168addsub4d 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
170143, 162, 166subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · (𝐷𝐻)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐻)))
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) = ((𝐶𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
172169, 171eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))))
173172oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) / 𝑀))
174161, 165subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐺) ∈ ℂ)
175162, 166subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐻) ∈ ℂ)
176 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐻) ∈ ℂ) → (i · (𝐷𝐻)) ∈ ℂ)
177134, 175, 176sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (i · (𝐷𝐻)) ∈ ℂ)
178174, 177, 33, 39divdird 11969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀)))
179143, 175, 33, 39divassd 11966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀) = (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀)))
180179oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀)) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))))
181173, 178, 1803eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))))
182107simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ)
183109simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ)
184 gzreim 16811 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
185182, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
186181, 185eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
18786nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
18889, 187eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1891, 57, 70, 95, 112, 131, 132, 29, 160, 186, 188mul4sqlem 16825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
190130, 189eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆)
191 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑅 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑅 · 𝑃))
192191eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑅 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
193192, 6elrab2 3648 . . . . . . . 8 (𝑅𝑇 ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
19455, 190, 193sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑇)
195 infssuzle 12856 . . . . . . 7 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑅𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
19623, 194, 195sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
1977, 196eqbrtrid 5140 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑅)
19855nnred 12168 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
199198, 30letri3d 11297 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 = 𝑀 ↔ (𝑅𝑀𝑀𝑅)))
20020, 197, 199mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑𝑅 = 𝑀)
201200olcd 872 . . 3 (𝜑 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
202201, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
203202, 46pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424   mod cmo 13774  cexp 13967  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  cdvds 16136  cprime 16547  ℤ[i]cgz 16801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-gz 16802
This theorem is referenced by:  4sqlem18  16834
  Copyright terms: Public domain W3C validator