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Theorem 4sqlem17 16291
Description: Lemma for 4sq 16294. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem17 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2 4sq.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 4sq.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4 4sq.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 4sq.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
6 4sq.6 . . . . . . 7 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
7 4sq.7 . . . . . . 7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
8 4sq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
9 4sq.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
10 4sq.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
11 4sq.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
12 4sq.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
13 4sq.e . . . . . . 7 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14 4sq.f . . . . . . 7 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
15 4sq.g . . . . . . 7 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
16 4sq.h . . . . . . 7 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
17 4sq.r . . . . . . 7 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
18 4sq.p . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 16290 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
2019simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑀)
216ssrab3 4011 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
22 nnuz 12273 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22sseqtri 3954 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 16287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
2524simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
26 infssuzcl 12324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2723, 25, 26sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
287, 27eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑇)
2921, 28sseldi 3916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3029nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3124simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 < 𝑃)
3230, 31ltned 10769 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑃)
3329nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3433sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
3534breq1d 5043 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ (𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
3629nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
37 prmz 16013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3929nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ≠ 0)
40 dvdscmulr 15634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
4136, 38, 36, 39, 40syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
42 dvdsprm 16041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑀𝑃𝑀 = 𝑃))
438, 4, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀𝑃𝑀 = 𝑃))
4435, 41, 433bitrd 308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀 = 𝑃))
4544necon3bbid 3027 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃) ↔ 𝑀𝑃))
4632, 45mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 16288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
48 elnn0 11891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
4947, 48sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∨ 𝑅 = 0))
5049ord 861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 = 0))
51 orc 864 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 0 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
5219simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5351, 52syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5450, 53syld 47 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑅 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
5546, 54mt3d 150 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
56 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
579, 10, 56syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i])
58 gzcn 16262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℤ[i] → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
6059absvalsq2d 14799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
619zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6210zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6361, 62crred 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
6463oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐴↑2))
6561, 62crimd 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
6665oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (𝐵↑2))
6764, 66oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
6860, 67eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
69 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
7011, 12, 69syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i])
71 gzcn 16262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℤ[i] → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
7372absvalsq2d 14799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
7411zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7512zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7674, 75crred 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
7776oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐶↑2))
7874, 75crimd 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
7978oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = (𝐷↑2))
8077, 79oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) + ((ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8173, 80eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8268, 81oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
8318, 82eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
8483oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀))
85 prmnn 16012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
864, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8786nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8887, 33, 39divcan3d 11414 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) / 𝑀) = 𝑃)
8984, 88eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) = 𝑃)
909, 29, 134sqlem5 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
9190simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
9210, 29, 144sqlem5 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
9392simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
94 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
9591, 93, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i])
96 gzcn 16262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℤ[i] → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 + (i · 𝐹)) ∈ ℂ)
9897absvalsq2d 14799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)))
9991zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
10093zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
10199, 100crred 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐸)
102101oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐸↑2))
10399, 100crimd 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹))) = 𝐹)
104103oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = (𝐹↑2))
105102, 104oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((ℑ‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
10698, 105eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
10711, 29, 154sqlem5 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
108107simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
10912, 29, 164sqlem5 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
110109simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
111 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
112108, 110, 111syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i])
113 gzcn 16262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℤ[i] → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺 + (i · 𝐻)) ∈ ℂ)
115114absvalsq2d 14799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)))
116108zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
117110zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
118116, 117crred 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐺)
119118oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐺↑2))
120116, 117crimd 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻))) = 𝐻)
121120oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = (𝐻↑2))
122119, 121oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((ℜ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) + ((ℑ‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
123115, 122eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2) = ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
124106, 123oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
125124oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
126125, 17eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀) = 𝑅)
12789, 126oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑃 · 𝑅))
12855nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
12987, 128mulcomd 10655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) = (𝑅 · 𝑃))
130127, 129eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) = (𝑅 · 𝑃))
131 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2))
132 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) = (((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2))
1339zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
134 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
13510zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
136 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
137134, 135, 136sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
13891zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
13993zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
140 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
141134, 139, 140sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐹) ∈ ℂ)
142133, 137, 138, 141addsub4d 11037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
143134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → i ∈ ℂ)
144143, 135, 139subdid 11089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · (𝐵𝐹)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐹)))
145144oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) = ((𝐴𝐸) + ((i · 𝐵) − (i · 𝐹))))
146142, 145eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) = ((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))))
147146oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) / 𝑀))
148133, 138subcld 10990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ ℂ)
149135, 139subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ ℂ)
150 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐹) ∈ ℂ) → (i · (𝐵𝐹)) ∈ ℂ)
151134, 149, 150sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (i · (𝐵𝐹)) ∈ ℂ)
152148, 151, 33, 39divdird 11447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐸) + (i · (𝐵𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀)))
153143, 149, 33, 39divassd 11444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀) = (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀)))
154153oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + ((i · (𝐵𝐹)) / 𝑀)) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))))
155147, 152, 1543eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) = (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))))
15690simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ)
15792simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ)
158 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
159156, 157, 158syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐸) / 𝑀) + (i · ((𝐵𝐹) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
160155, 159eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐸 + (i · 𝐹))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
16111zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
16212zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
163 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
164134, 162, 163sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
165108zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
166110zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
167 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ) → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
168134, 166, 167sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · 𝐻) ∈ ℂ)
169161, 164, 165, 168addsub4d 11037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
170143, 162, 166subdid 11089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (i · (𝐷𝐻)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐻)))
171170oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) = ((𝐶𝐺) + ((i · 𝐷) − (i · 𝐻))))
172169, 171eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) = ((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))))
173172oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) / 𝑀))
174161, 165subcld 10990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐺) ∈ ℂ)
175162, 166subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐻) ∈ ℂ)
176 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐻) ∈ ℂ) → (i · (𝐷𝐻)) ∈ ℂ)
177134, 175, 176sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (i · (𝐷𝐻)) ∈ ℂ)
178174, 177, 33, 39divdird 11447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶𝐺) + (i · (𝐷𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀)))
179143, 175, 33, 39divassd 11444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀) = (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀)))
180179oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + ((i · (𝐷𝐻)) / 𝑀)) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))))
181173, 178, 1803eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) = (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))))
182107simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ)
183109simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ)
184 gzreim 16269 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
185182, 183, 184syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶𝐺) / 𝑀) + (i · ((𝐷𝐻) / 𝑀))) ∈ ℤ[i])
186181, 185eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 + (i · 𝐷)) − (𝐺 + (i · 𝐻))) / 𝑀) ∈ ℤ[i])
18786nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
18889, 187eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1891, 57, 70, 95, 112, 131, 132, 29, 160, 186, 188mul4sqlem 16283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) + ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) / 𝑀) · ((((abs‘(𝐸 + (i · 𝐹)))↑2) + ((abs‘(𝐺 + (i · 𝐻)))↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
190130, 189eqeltrrd 2894 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆)
191 oveq1 7146 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑅 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑅 · 𝑃))
192191eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑅 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
193192, 6elrab2 3634 . . . . . . . 8 (𝑅𝑇 ↔ (𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑅 · 𝑃) ∈ 𝑆))
19455, 190, 193sylanbrc 586 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑇)
195 infssuzle 12323 . . . . . . 7 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑅𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
19623, 194, 195sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑅)
1977, 196eqbrtrid 5068 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑅)
19855nnred 11644 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
199198, 30letri3d 10775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 = 𝑀 ↔ (𝑅𝑀𝑀𝑅)))
20020, 197, 199mpbir2and 712 . . . 4 (𝜑𝑅 = 𝑀)
201200olcd 871 . . 3 (𝜑 → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀))
202201, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
203202, 46pm2.65i 197 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wne 2990  wrex 3110  {crab 3113  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  infcinf 8893  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12889   mod cmo 13236  cexp 13429  cre 14452  cim 14453  abscabs 14589  cdvds 15603  cprime 16009  ℤ[i]cgz 16259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-gz 16260
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