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Theorem cntotbnd 37803
Description: A subset of the complex numbers is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cntotbnd.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
cntotbnd (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Proof of Theorem cntotbnd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 37796 . 2 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
2 rpcn 13045 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
32adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
4 gzcn 16970 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
5 mulcl 11239 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
76fmpttd 7135 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)):ℤ[i]⟶ℂ)
87frnd 6744 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
9 cnex 11236 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
109elpw2 5334 . . . . . 6 (ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ↔ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
118, 10sylibr 234 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ)
12 cnmet 24792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
13 cntotbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
1413bnd2lem 37798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1512, 14mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1615sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
1716adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1817recld 15233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
19 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2018, 19rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
21 halfre 12480 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
22 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2423flcld 13838 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
2517imcld 15234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
2625, 19rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
27 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2826, 21, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2928flcld 13838 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
30 gzreim 16977 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
3124, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
32 gzcn 16970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
3419rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
3519rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑟 ≠ 0)
3617, 34, 35divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) ∈ ℂ)
3733, 36subcld 11620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) ∈ ℂ)
3837abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) ∈ ℝ)
39 1re 11261 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 1 ∈ ℝ)
4124zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
42 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i ∈ ℂ
4329zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
44 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((i ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
4542, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
4620recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
4726recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
48 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
4942, 47, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
5041, 45, 46, 49addsub4d 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
5136replimd 15236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))))
5219rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5352, 17, 35redivd 15268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))
5452, 17, 35imdivd 15269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))
5554oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟))) = (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))
5653, 55oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
5751, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
5857oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
5942a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → i ∈ ℂ)
6059, 43, 47subdid 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) = ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
6250, 58, 613eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
6362fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))))
6463oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2))
6524zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
6665, 20resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
6729zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
6867, 26resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
69 absreimsq 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
7164, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
7266resqcld 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
7368resqcld 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
7421resqcli 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ)
7621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
77 absresq 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
79 rddif 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
8020, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
8166recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
8281abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
8381absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))))
84 halfgt0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
8521, 84elrpii 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / 2) ∈ ℝ+
86 rpge0 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 2))
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ (1 / 2))
8882, 76, 83, 87le2sqd 14296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
8980, 88mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
9078, 89eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
91 halfcn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℂ
9291sqvali 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2)↑2) = ((1 / 2) · (1 / 2))
93 halflt1 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / 2) < 1
9421, 39, 21, 84ltmul1ii 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 / 2) < 1 ↔ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2)))
9593, 94mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2))
9691mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
9795, 96breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 / 2)
9892, 97eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2)↑2) < (1 / 2)
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((1 / 2)↑2) < (1 / 2))
10072, 75, 76, 90, 99lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
101 absresq 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
10268, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
103 rddif 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
10426, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
10568recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
106105abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
107105absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
108106, 76, 107, 87le2sqd 14296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
109104, 108mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
110102, 109eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
11173, 75, 76, 110, 99lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
11272, 73, 40, 100, 111lt2halvesd 12514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)) < 1)
11371, 112eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < 1)
114 sq1 14234 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
115113, 114breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2))
11637absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))))
117 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ 1)
11938, 40, 116, 118lt2sqd 14295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1 ↔ ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2)))
120115, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1)
12138, 40, 19, 120ltmul2dd 13133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) < (𝑟 · 1))
12234, 33mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ)
123 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124123cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
125122, 17, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
12634, 33, 36subdid 11719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))))
12717, 34, 35divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · (𝑦 / 𝑟)) = 𝑦)
128127oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
129126, 128eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
130129fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
13134, 37absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
132130, 131eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
13319rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 0 ≤ 𝑟)
13452, 133absidd 15461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
135134oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
136125, 132, 1353eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦))
13734mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑟 · 1) = 𝑟)
138121, 136, 1373brtr3d 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟)
139 cnxmet 24793 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
140139a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
141 rpxr 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
142141ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
143 elbl2 24400 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
144140, 142, 122, 17, 143syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
145138, 144mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
146 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))))
147146oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
148147eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
149148rspcev 3622 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
15031, 145, 149syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
151150expr 456 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
152 eliun 4995 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
153 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑟 · 𝑧) ∈ V
154153rgenw 3065 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V
155 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))
156 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
157156eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
158155, 157rexrnmptw 7115 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
159154, 158ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
160152, 159bitri 275 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
161151, 160imbitrrdi 252 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋𝑦 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
162161ssrdv 3989 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
163 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
164 0cn 11253 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
16513ssbnd 37795 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
16612, 164, 165mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
167163, 166sylib 218 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
168 fzfi 14013 . . . . . . . . 9 (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin
169 xpfi 9358 . . . . . . . . 9 (((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin ∧ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin) → ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin)
170168, 168, 169mp2an 692 . . . . . . . 8 ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin
171 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) = (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
172 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ∈ V
173171, 172fnmpoi 8095 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
174 dffn4 6826 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
175173, 174mpbi 230 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
176 fofi 9351 . . . . . . . 8 ((((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin)
177170, 175, 176mp2an 692 . . . . . . 7 ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin
178155, 153elrnmpti 5973 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧))
179 elgz 16969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
180179simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
181180ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
182181zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
183182abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ∈ ℝ)
1844ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ ℂ)
185184abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
186 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ+)
187186adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ+)
188187rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ)
189 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑑 ∈ ℝ)
191188, 190readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 + 𝑑) ∈ ℝ)
192191, 187rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ)
193192flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) ∈ ℤ)
194193peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
195194zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
196 absrele 15347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
197184, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
198187rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℂ)
199198, 184absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)))
200187rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑟)
201188, 200absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
202201oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
203199, 202eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
204 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
205 sslin 4243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
207139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
2086adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
209164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 0 ∈ ℂ)
210186rpxrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ*)
211189rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ*)
212 bldisj 24408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ* ∧ (𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅)
2132123exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑟 ∈ ℝ* → (𝑑 ∈ ℝ* → ((𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))))
214213imp32 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ*)) → ((𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
215207, 208, 209, 210, 211, 214syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
216 sseq0 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅)
217206, 215, 216syl6an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅))
218217necon3ad 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ¬ (𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0)))
219218imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))
220 rexadd 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑟 +𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
221188, 190, 220syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 +𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
222208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
223123cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
224222, 164, 223sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
225222subid1d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧) − 0) = (𝑟 · 𝑧))
226225fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
227224, 226eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
228221, 227breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 +𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) ↔ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
229219, 228mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
230222abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℝ)
231230, 191ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
232229, 231mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
233203, 232eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
234185, 191, 187ltmuldiv2d 13125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)))
235233, 234mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟))
236 flltp1 13840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
237192, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
238185, 192, 195, 235, 237lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
239185, 195, 238ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
240183, 185, 195, 197, 239letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
241181zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
242241, 195absled 15469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
243240, 242mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
244194znegcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
245 elfz 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
246181, 244, 194, 245syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
247243, 246mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
248179simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
249248ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
250249zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
251250abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ∈ ℝ)
252 absimle 15348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
253184, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
254251, 185, 195, 253, 239letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
255249zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
256255, 195absled 15469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
257254, 256mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
258 elfz 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
259249, 244, 194, 258syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
260257, 259mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
261184replimd 15236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
262261oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
263 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))
264263oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))))
265264eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))))
266 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑏) = (i · (ℑ‘𝑧)))
267266oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
268267oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
269268eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))))
270265, 269rspc2ev 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
271247, 260, 262, 270syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
272271ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
273171, 172elrnmpo 7569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
274272, 273imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
275156ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋))
276275neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ ↔ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅))
277 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
278276, 277imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) ↔ ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
279274, 278syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
280279rexlimdva 3155 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
281178, 280biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
2822813imp 1111 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
283282rabssdv 4075 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
284 ssfi 9213 . . . . . . 7 ((ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
285177, 283, 284sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
286167, 285rexlimddv 3161 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
287 iuneq1 5008 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
288287sseq2d 4016 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑋 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
289 rabeq 3451 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} = {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅})
290289eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ({𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
291288, 290anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ((𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑋 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
292291rspcev 3622 . . . . 5 ((ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ∧ (𝑋 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
29311, 162, 286, 292syl12anc 837 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
294293ralrimiva 3146 . . 3 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
29513sstotbnd3 37783 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
29612, 15, 295sylancr 587 . . 3 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 𝑥𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
297294, 296mpbird 257 . 2 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
2981, 297impbii 209 1 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  cre 15136  cim 15137  abscabs 15273  ℤ[i]cgz 16967  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  TotBndctotbnd 37773  Bndcbnd 37774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-gz 16968  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-totbnd 37775  df-bnd 37786
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  37804
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