cntotbnd - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem cntotbnd 37783

Description: A subset of the complex numbers is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cntotbnd.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))

**Assertion**
Ref	Expression
cntotbnd	⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Proof of Theorem cntotbnd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 37776	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
2		rpcn 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℂ)
4		gzcn 16879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
7	6	fmpttd 7069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)):ℤ[i]⟶ℂ)
8	7	frnd 6678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
9		cnex 11125	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	elpw2 5284	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ↔ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
11	8, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ)
12		cnmet 24692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
13		cntotbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
14	13	bnd2lem 37778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
15	12, 14	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	recld 15136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
19		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	rerpdivcld 13002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
21		halfre 12371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
22		readdcl 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
24	23	flcld 13736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
25	17	imcld 15137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
26	25, 19	rerpdivcld 13002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
27		readdcl 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
28	26, 21, 27	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
30		gzreim 16886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
31	24, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
32		gzcn 16879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
34	19	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
35	19	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ≠ 0)
36	17, 34, 35	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) ∈ ℂ)
37	33, 36	subcld 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) ∈ ℝ)
39		1re 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 1 ∈ ℝ)
41	24	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
42		ax-icn 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
43	29	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
44		mulcl 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
46	20	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
47	26	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
48		mulcl 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
49	42, 47, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
50	41, 45, 46, 49	addsub4d 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
51	36	replimd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))))
52	19	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	52, 17, 35	redivd 15171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))
54	52, 17, 35	imdivd 15172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))
55	54	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟))) = (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))
56	53, 55	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
57	51, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
58	57	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
59	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → i ∈ ℂ)
60	59, 43, 47	subdid 11610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) = ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
61	60	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
62	50, 58, 61	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
63	62	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))))
64	63	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2))
65	24	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
66	65, 20	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
67	29	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
68	67, 26	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
69		absreimsq 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
71	64, 70	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
72	66	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
73	68	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
74	21	resqcli 14127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ)
76	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
77		absresq 15244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
78	66, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
79		rddif 15283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
80	20, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
81	66	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
82	81	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
83	81	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))))
84		halfgt0 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < (1 / 2)
85	21, 84	elrpii 12930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ⁺
86		rpge0 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (1 / 2))
87	85, 86	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (1 / 2))
88	82, 76, 83, 87	le2sqd 14198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
89	80, 88	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
90	78, 89	eqbrtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
91		halfcn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
92	91	sqvali 14121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2)↑2) = ((1 / 2) · (1 / 2))
93		halflt1 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) < 1
94	21, 39, 21, 84	ltmul1ii 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2)))
95	93, 94	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2))
96	91	mullidi 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
97	95, 96	breqtri 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 / 2)
98	92, 97	eqbrtri 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) < (1 / 2)
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) < (1 / 2))
100	72, 75, 76, 90, 99	lelttrd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
101		absresq 15244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
102	68, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
103		rddif 15283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
104	26, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
105	68	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
106	105	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
107	105	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
108	106, 76, 107, 87	le2sqd 14198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
109	104, 108	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
110	102, 109	eqbrtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
111	73, 75, 76, 110, 99	lelttrd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
112	72, 73, 40, 100, 111	lt2halvesd 12406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)) < 1)
113	71, 112	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < 1)
114		sq1 14136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
115	113, 114	breqtrrdi 5144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2))
116	37	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))))
117		0le1 11677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 1)
119	38, 40, 116, 118	lt2sqd 14197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1 ↔ ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2)))
120	115, 119	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1)
121	38, 40, 19, 120	ltmul2dd 13027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) < (𝑟 · 1))
122	34, 33	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ)
123		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124	123	cnmetdval 24691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
125	122, 17, 124	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
126	34, 33, 36	subdid 11610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))))
127	17, 34, 35	divcan2d 11936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (𝑦 / 𝑟)) = 𝑦)
128	127	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
129	126, 128	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
130	129	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
131	34, 37	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
132	130, 131	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
133	19	rpge0d 12975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑟)
134	52, 133	absidd 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
135	134	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
136	125, 132, 135	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦))
137	34	mulridd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · 1) = 𝑟)
138	121, 136, 137	3brtr3d 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟)
139		cnxmet 24693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
141		rpxr 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
142	141	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
143		elbl2 24311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
144	140, 142, 122, 17, 143	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
145	138, 144	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
146		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))))
147	146	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
148	147	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
149	148	rspcev 3585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
150	31, 145, 149	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
151	150	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
152		eliun 4955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
153		ovex 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · 𝑧) ∈ V
154	153	rgenw 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V
155		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))
156		oveq1 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
157	156	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
158	155, 157	rexrnmptw 7049	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
159	154, 158	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
160	152, 159	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
161	151, 160	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
162	161	ssrdv 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
163		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
164		0cn 11142	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
165	13	ssbnd 37775	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
166	12, 164, 165	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
167	163, 166	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
168		fzfi 13913	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin
169		xpfi 9245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin ∧ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin) → ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin)
170	168, 168, 169	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin
171		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) = (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
172		ovex 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ∈ V
173	171, 172	fnmpoi 8028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
174		dffn4 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
175	173, 174	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
176		fofi 9238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin)
177	170, 175, 176	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin
178	155, 153	elrnmpti 5915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧))
179		elgz 16878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
180	179	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
181	180	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
182	181	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
183	182	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ∈ ℝ)
184	4	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ ℂ)
185	184	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
186		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
187	186	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
188	187	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ)
189		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ)
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑑 ∈ ℝ)
191	188, 190	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 + 𝑑) ∈ ℝ)
192	191, 187	rerpdivcld 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ)
193	192	flcld 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) ∈ ℤ)
194	193	peano2zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
195	194	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
196		absrele 15250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
197	184, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
198	187	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℂ)
199	198, 184	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)))
200	187	rpge0d 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑟)
201	188, 200	absidd 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
202	201	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
203	199, 202	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
204		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
205		sslin 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
207	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
208	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
209	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 0 ∈ ℂ)
210	186	rpxrd 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
211	189	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
212		bldisj 24319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅)
213	212	3exp2 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑟 ∈ ℝ^* → (𝑑 ∈ ℝ^* → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))))
214	213	imp32 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^*)) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
215	207, 208, 209, 210, 211, 214	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
216		sseq0 4362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅)
217	206, 215, 216	syl6an 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅))
218	217	necon3ad 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ¬ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0)))
219	218	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))
220		rexadd 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑟 +_𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
221	188, 190, 220	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 +_𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
222	208	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
223	123	cnmetdval 24691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
224	222, 164, 223	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
225	222	subid1d 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧) − 0) = (𝑟 · 𝑧))
226	225	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
227	224, 226	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
228	221, 227	breq12d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) ↔ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
229	219, 228	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
230	222	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℝ)
231	230, 191	ltnled 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
232	229, 231	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
233	203, 232	eqbrtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
234	185, 191, 187	ltmuldiv2d 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)))
235	233, 234	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟))
236		flltp1 13738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
237	192, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
238	185, 192, 195, 235, 237	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
239	185, 195, 238	ltled 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
240	183, 185, 195, 197, 239	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
241	181	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
242	241, 195	absled 15375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
243	240, 242	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
244	194	znegcld 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
245		elfz 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
246	181, 244, 194, 245	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
247	243, 246	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
248	179	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
249	248	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
250	249	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
251	250	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ∈ ℝ)
252		absimle 15251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
253	184, 252	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
254	251, 185, 195, 253, 239	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
255	249	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
256	255, 195	absled 15375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
257	254, 256	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
258		elfz 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
259	249, 244, 194, 258	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
260	257, 259	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
261	184	replimd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
262	261	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
263		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))
264	263	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))))
265	264	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))))
266		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑏) = (i · (ℑ‘𝑧)))
267	266	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
268	267	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
269	268	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))))
270	265, 269	rspc2ev 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
271	247, 260, 262, 270	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
272	271	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
273	171, 172	elrnmpo 7505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
274	272, 273	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
275	156	ineq1d 4178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋))
276	275	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ ↔ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅))
277		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
278	276, 277	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) ↔ ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
279	274, 278	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
280	279	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
281	178, 280	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
282	281	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
283	282	rabssdv 4034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
284		ssfi 9114	. . . . . . 7 ⊢ ((ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
285	177, 283, 284	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
286	167, 285	rexlimddv 3140	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
287		iuneq1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
288	287	sseq2d 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
289		rabeq 3417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} = {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅})
290	289	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ({𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
291	288, 290	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ((𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
292	291	rspcev 3585	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
293	11, 162, 286, 292	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
294	293	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
295	13	sstotbnd3 37763	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
296	12, 15, 295	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
297	294, 296	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
298	1, 297	impbii 209	1 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 {crab 3402 Vcvv 3444 ∩ cin 3910 ⊆ wss 3911 ∅c0 4292 𝒫 cpw 4559 ∪ ciun 4951 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 × cxp 5629 ran crn 5632 ↾ cres 5633 ∘ ccom 5635 Fn wfn 6494 –onto→wfo 6497 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ∈ cmpo 7371 Fincfn 8895 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 ici 11046 + caddc 11047 · cmul 11049 ℝ^*cxr 11183 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 2c2 12217 ℤcz 12505 ℝ⁺crp 12927 +_𝑒 cxad 13046 ...cfz 13444 ⌊cfl 13728 ↑cexp 14002 ℜcre 15039 ℑcim 15040 abscabs 15176 ℤ[i]cgz 16876 ∞Metcxmet 21281 Metcmet 21282 ballcbl 21283 TotBndctotbnd 37753 Bndcbnd 37754

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-er 8648 df-ec 8650 df-map 8778 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9369 df-inf 9370 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-n0 12419 df-z 12506 df-uz 12770 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-fz 13445 df-fl 13730 df-seq 13943 df-exp 14003 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-gz 16877 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-totbnd 37755 df-bnd 37766

This theorem is referenced by: cnpwstotbnd 37784

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