Theorem cntotbnd 38730

Description: A subset of the complex numbers is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntotbnd.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cntotbnd	⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Proof of Theorem cntotbnd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 38723	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
2		rpcn 13131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
4		gzcn 17110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
7	6	fmpttd 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)):ℤ[i]⟶ℂ)
8	7	frnd 6718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
9		cnex 11281	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	elpw2 5296	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ↔ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
11	8, 10	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ)
12		cnmet 25090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
13		cntotbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
14	13	bnd2lem 38725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
15	12, 14	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	recld 15361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
19		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20	18, 19	rerpdivcld 13195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
21		halfre 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
22		readdcl 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
24	23	flcld 13938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
25	17	imcld 15362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
26	25, 19	rerpdivcld 13195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
27		readdcl 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
28	26, 21, 27	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
30		gzreim 17117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
31	24, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
32		gzcn 17110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
34	19	rpcnd 13166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
35	19	rpne0d 13169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ≠ 0)
36	17, 34, 35	divcld 12093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) ∈ ℂ)
37	33, 36	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) ∈ ℝ)
39		1re 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 1 ∈ ℝ)
41	24	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
42		ax-icn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
43	29	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
44		mulcl 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
46	20	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
47	26	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
48		mulcl 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
49	42, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
50	41, 45, 46, 49	addsub4d 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
51	36	replimd 15364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))))
52	19	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	52, 17, 35	redivd 15396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))
54	52, 17, 35	imdivd 15397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))
55	54	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟))) = (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))
56	53, 55	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
57	51, 56	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
58	57	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
59	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → i ∈ ℂ)
60	59, 43, 47	subdid 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) = ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
61	60	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
62	50, 58, 61	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
63	62	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))))
64	63	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2))
65	24	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
66	65, 20	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
67	29	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
68	67, 26	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
69		absreimsq 15459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
70	66, 68, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
71	64, 70	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
72	66	resqcld 14268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
73	68	resqcld 14268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
74	21	resqcli 14329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ)
76	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
77		absresq 15469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
78	66, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
79		rddif 15508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
80	20, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
81	66	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
82	81	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
83	81	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))))
84		halfgt0 12561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < (1 / 2)
85	21, 84	elrpii 13123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
86		rpge0 13134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 2))
87	85, 86	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (1 / 2))
88	82, 76, 83, 87	le2sqd 14401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
89	80, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
90	78, 89	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
91		halfcn 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
92	91	sqvali 14323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2)↑2) = ((1 / 2) · (1 / 2))
93		halflt1 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) < 1
94	21, 39, 21, 84	ltmul1ii 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2)))
95	93, 94	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2))
96	91	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
97	95, 96	breqtri 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 / 2)
98	92, 97	eqbrtri 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) < (1 / 2)
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) < (1 / 2))
100	72, 75, 76, 90, 99	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
101		absresq 15469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
102	68, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
103		rddif 15508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
104	26, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
105	68	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
106	105	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
107	105	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
108	106, 76, 107, 87	le2sqd 14401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
109	104, 108	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
110	102, 109	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
111	73, 75, 76, 110, 99	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
112	72, 73, 40, 100, 111	lt2halvesd 12594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)) < 1)
113	71, 112	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < 1)
114		sq1 14338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
115	113, 114	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2))
116	37	absge0d 15614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))))
117		0le1 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 1)
119	38, 40, 116, 118	lt2sqd 14400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1 ↔ ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2)))
120	115, 119	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1)
121	38, 40, 19, 120	ltmul2dd 13220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) < (𝑟 · 1))
122	34, 33	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ)
123		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124	123	cnmetdval 25089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
125	122, 17, 124	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
126	34, 33, 36	subdid 11772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))))
127	17, 34, 35	divcan2d 12095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (𝑦 / 𝑟)) = 𝑦)
128	127	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
129	126, 128	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
130	129	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
131	34, 37	absmuld 15624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
132	130, 131	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
133	19	rpge0d 13168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑟)
134	52, 133	absidd 15590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
135	134	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
136	125, 132, 135	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦))
137	34	mulridd 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · 1) = 𝑟)
138	121, 136, 137	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟)
139		cnxmet 25091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
141		rpxr 13130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
142	141	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
143		elbl2 24709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
144	140, 142, 122, 17, 143	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
145	138, 144	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
146		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))))
147	146	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
148	147	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
149	148	rspcev 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
150	31, 145, 149	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
151	150	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
152		eliun 4955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
153		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · 𝑧) ∈ V
154	153	rgenw 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V
155		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))
156		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
157	156	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
158	155, 157	rexrnmptw 7095	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
159	154, 158	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
160	152, 159	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
161	151, 160	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
162	161	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
163		0cn 11298	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
164	13	ssbnd 38722	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
165	12, 163, 164	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
166	165	birani 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
167		fzfi 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin
168		xpfi 9311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin ∧ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin) → (( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin)
169	167, 167, 168	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin
170		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) = (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
171		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ∈ V
172	170, 171	fnmpoi 8081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn (( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
173		dffn4 6802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn (( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):(( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
174	172, 173	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):(( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
175		fofi 9305	. . . . . . . 8 ⊢ (((( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):(( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin)
176	169, 174, 175	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin
177	155, 153	elrnmpti 5944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧))
178		elgz 17109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
179	178	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
180	179	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
181	180	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
182	181	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ∈ ℝ)
183	4	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ ℂ)
184	183	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
185		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ+)
186	185	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ+)
187	186	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ)
188		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ)
189	188	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑑 ∈ ℝ)
190	187, 189	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 + 𝑑) ∈ ℝ)
191	190, 186	rerpdivcld 13195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ)
192	191	flcld 13938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) ∈ ℤ)
193	192	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
194	193	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
195		absrele 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
196	183, 195	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
197	186	rpcnd 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℂ)
198	197, 183	absmuld 15624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)))
199	186	rpge0d 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑟)
200	187, 199	absidd 15590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
201	200	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
202	198, 201	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
203		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
204		sslin 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
205	203, 204	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
206	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
207	6	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
208	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 0 ∈ ℂ)
209	185	rpxrd 13165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ*)
210	188	rexrd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ*)
211		bldisj 24717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ (𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅)
212	211	3exp2 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑟 ∈ ℝ* → (𝑑 ∈ ℝ* → ((𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))))
213	212	imp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ*)) → ((𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
214	206, 207, 208, 209, 210, 213	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
215		sseq0 4354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅)
216	205, 214, 215	syl6an 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅))
217	216	necon3ad 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ¬ (𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0)))
218	217	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))
219		rexadd 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑟 +e 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
220	187, 189, 219	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 +e 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
221	207	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
222	123	cnmetdval 25089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
223	221, 163, 222	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
224	221	subid1d 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧) − 0) = (𝑟 · 𝑧))
225	224	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
226	223, 225	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
227	220, 226	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 +e 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) ↔ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
228	218, 227	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
229	221	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℝ)
230	229, 190	ltnled 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
231	228, 230	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
232	202, 231	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
233	184, 190, 186	ltmuldiv2d 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)))
234	232, 233	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟))
235		flltp1 13940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
236	191, 235	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
237	184, 191, 194, 234, 236	lttrd 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
238	184, 194, 237	ltled 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
239	182, 184, 194, 196, 238	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
240	180	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
241	240, 194	absled 15600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
242	239, 241	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
243	193	znegcld 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
244		elfz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
245	180, 243, 193, 244	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
246	242, 245	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
247	178	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
248	247	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
249	248	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
250	249	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ∈ ℝ)
251		absimle 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
252	183, 251	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
253	250, 184, 194, 252, 238	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
254	248	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
255	254, 194	absled 15600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
256	253, 255	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
257		elfz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
258	248, 243, 193, 257	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
259	256, 258	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
260	183	replimd 15364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
261	260	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
262		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))
263	262	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))))
264	263	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))))
265		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑏) = (i · (ℑ‘𝑧)))
266	265	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
267	266	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
268	267	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))))
269	264, 268	rspc2ev 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))) → ∃𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
270	246, 259, 261, 269	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
271	270	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
272	170, 171	elrnmpo 7556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
273	271, 272	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
274	156	ineq1d 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋))
275	274	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ ↔ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅))
276		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
277	275, 276	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) ↔ ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
278	273, 277	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
279	278	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
280	177, 279	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
281	280	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
282	281	rabssdv 4022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
283		ssfi 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ ( -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
284	176, 282, 283	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
285	166, 284	rexlimddv 3170	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
286		iuneq1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
287	286	sseq2d 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
288		rabeq 3427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} = {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅})
289	288	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ({𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
290	287, 289	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ((𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
291	290	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
292	11, 162, 285, 291	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
293	292	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
294	13	sstotbnd3 38710	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
295	12, 15, 294	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
296	293, 295	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
297	1, 296	impbii 212	1 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6533  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120   +_e cxad 13239  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  ℑcim 15265  abscabs 15401  ℤ[i]cgz 17107  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  ballcbl 21665  TotBndctotbnd 38700  Bndcbnd 38701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-gz 17108  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-totbnd 38702  df-bnd 38713

This theorem is used by:  cnpwstotbnd  38731