Theorem idomringd 20856

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20352	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Ringcrg 20339  IDomncidom 20822

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-cring 20342  df-idom 20825

This theorem is used by:  fracfld  33669  dvdsruasso  33738  dvdsruasso2  33739  mxidlirredi  33794  mxidlirred  33795  rprmasso  33855  rprmasso2  33856  unitmulrprm  33858  rprmirred  33861  rprmirredb  33862  1arithidomlem1  33865  1arithidomlem2  33866  1arithidom  33867  pidufd  33873  1arithufdlem2  33875  1arithufdlem4  33877  dfufd2lem  33879  dfufd2  33880  deg1prod  33913  mplidomlem  33957  vietadeg1  34008  vietalem  34009  vieta  34010  assafld  34067  fldextrspunlem1  34105  algextdeglem7  34153  idomnnzpownz  42932  deg1gprod  42940  deg1pow  42941  aks6d1c6lem3  42972  unitscyglem5  42999