Theorem idomringd 20673

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20672	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20193	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Ringcrg 20180  IDomncidom 20638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-cring 20183  df-idom 20641

This theorem is referenced by:  fracfld  33402  dvdsruasso  33478  dvdsruasso2  33479  unitpidl1  33517  mxidlirredi  33564  mxidlirred  33565  rsprprmprmidlb  33616  rprmasso  33618  rprmasso2  33619  unitmulrprm  33621  rprmirred  33624  rprmirredb  33625  1arithidomlem1  33628  1arithidomlem2  33629  1arithidom  33630  pidufd  33636  1arithufdlem2  33638  1arithufdlem4  33640  dfufd2lem  33642  dfufd2  33643  deg1prod  33676  r1pid2OLD  33702  vietadeg1  33755  vietalem  33756  vieta  33757  assafld  33815  fldextrspunlem1  33853  algextdeglem7  33901  idomnnzpownz  42502  deg1gprod  42510  deg1pow  42511  aks6d1c6lem3  42542  unitscyglem5  42569