Theorem idomringd 20696

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20695	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20218	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Ringcrg 20205  IDomncidom 20661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6448  df-fv 6500  df-cring 20208  df-idom 20664

This theorem is referenced by:  fracfld  33384  dvdsruasso  33460  dvdsruasso2  33461  unitpidl1  33499  mxidlirredi  33546  mxidlirred  33547  rsprprmprmidlb  33598  rprmasso  33600  rprmasso2  33601  unitmulrprm  33603  rprmirred  33606  rprmirredb  33607  1arithidomlem1  33610  1arithidomlem2  33611  1arithidom  33612  pidufd  33618  1arithufdlem2  33620  1arithufdlem4  33622  dfufd2lem  33624  dfufd2  33625  deg1prod  33658  r1pid2OLD  33684  vietadeg1  33737  vietalem  33738  vieta  33739  assafld  33797  fldextrspunlem1  33835  algextdeglem7  33883  idomnnzpownz  42585  deg1gprod  42593  deg1pow  42594  aks6d1c6lem3  42625  unitscyglem5  42652