Theorem idomringd 21030

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 21029	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20524	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Ringcrg 20510  IDomncidom 20996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-iota 6520  df-fv 6574  df-cring 20513  df-idom 20999

This theorem is used by:  fldedom  33956  ply1edom  33959  edompidlem  33960  edompid  33961  fracfld  33974  dvdsruasso  34044  dvdsruasso2  34045  mxidlirredi  34100  mxidlirred  34101  rprmasso  34161  rprmasso2  34162  unitmulrprm  34164  rprmirred  34167  rprmirredb  34168  1arithidomlem1  34171  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173  pidufd  34179  1arithufdlem2  34181  1arithufdlem4  34183  dfufd2lem  34185  dfufd2  34186  deg1prod  34218  mplidomlem  34270  vietadeg1  34321  vietalem  34322  vieta  34323  assafld  34380  fldextrspunlem1  34418  algextdeglem7  34466  idomnnzpownz  43448  deg1gprod  43456  deg1pow  43457  aks6d1c6lem3  43488  unitscyglem5  43515