Theorem idomringd 20661

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20660	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20181	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Ringcrg 20168  IDomncidom 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-cring 20171  df-idom 20629

This theorem is referenced by:  fracfld  33390  dvdsruasso  33466  dvdsruasso2  33467  unitpidl1  33505  mxidlirredi  33552  mxidlirred  33553  rsprprmprmidlb  33604  rprmasso  33606  rprmasso2  33607  unitmulrprm  33609  rprmirred  33612  rprmirredb  33613  1arithidomlem1  33616  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  pidufd  33624  1arithufdlem2  33626  1arithufdlem4  33628  dfufd2lem  33630  dfufd2  33631  deg1prod  33664  r1pid2OLD  33690  vietadeg1  33734  vietalem  33735  vieta  33736  assafld  33794  fldextrspunlem1  33832  algextdeglem7  33880  idomnnzpownz  42386  deg1gprod  42394  deg1pow  42395  aks6d1c6lem3  42426  unitscyglem5  42453