Theorem idomringd 20765

Description: An integral domain is a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
idomringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
idomringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem idomringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomringd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2	1	idomcringd 20764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20283	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Ringcrg 20270  IDomncidom 20730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-iota 6472  df-fv 6524  df-cring 20273  df-idom 20733

This theorem is referenced by:  fracfld  33456  dvdsruasso  33532  dvdsruasso2  33533  mxidlirredi  33620  mxidlirred  33621  rprmasso  33682  rprmasso2  33683  unitmulrprm  33685  rprmirred  33688  rprmirredb  33689  1arithidomlem1  33692  1arithidomlem2  33693  1arithidom  33694  pidufd  33700  1arithufdlem2  33702  1arithufdlem4  33704  dfufd2lem  33706  dfufd2  33707  deg1prod  33740  r1pid2OLD  33766  mplidomlem  33785  vietadeg1  33836  vietalem  33837  vieta  33838  assafld  33895  fldextrspunlem1  33933  algextdeglem7  33981  idomnnzpownz  42710  deg1gprod  42718  deg1pow  42719  aks6d1c6lem3  42750  unitscyglem5  42777