Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1gprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1gprod 42122
Description: Degree multiplication is a homomorphism. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1gprod.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
deg1gprod.2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
deg1gprod.3 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
Assertion
Ref Expression
deg1gprod (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝑁,𝑥   𝑅,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem deg1gprod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
21oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
32fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
4 sumeq1 15722 . . . 4 (𝑎 = ∅ → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
53, 4eqeq12d 2751 . . 3 (𝑎 = ∅ → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
63breq2d 5160 . . 3 (𝑎 = ∅ → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))))
75, 6anbi12d 632 . 2 (𝑎 = ∅ → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))))
8 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥𝑏𝐶))
98oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))
109fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))
11 sumeq1 15722 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
1210, 11eqeq12d 2751 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
1310breq2d 5160 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))))
1412, 13anbi12d 632 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))))
15 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))
1615oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))
1716fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))
18 sumeq1 15722 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
1917, 18eqeq12d 2751 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
2017breq2d 5160 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))))
2119, 20anbi12d 632 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))))
22 mpteq1 5241 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥𝑁𝐶))
2322oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))
2423fveq2d 6911 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))))
25 sumeq1 15722 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
2624, 25eqeq12d 2751 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
2724breq2d 5160 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
2826, 27anbi12d 632 . 2 (𝑎 = 𝑁 → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))))))
29 mpt0 6711 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅)
3130oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅))
32 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
3332gsum0 18710 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
3531, 34eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
3635fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))))
37 deg1gprod.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3837idomringd 20745 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
39 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
40 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
41 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
43 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Poly1𝑅)) = (1r‘(Poly1𝑅))
4442, 43ringidval 20201 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
4544eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (1r‘(Poly1𝑅))
4639, 40, 41, 45ply1scl1 22312 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
4738, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
4847eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)))
4948fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))) = ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))))
50 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5150, 41ringidcl 20280 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5238, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5337idomdomd 20743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
54 domnnzr 20723 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
56 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5741, 56nzrnz 20532 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
59 eqid 2735 . . . . . . . 8 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
6059, 39, 50, 40, 56deg1scl 26167 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))) = 0)
6138, 52, 58, 60syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))) = 0)
6249, 61eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))) = 0)
6336, 62eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = 0)
64 sum0 15754 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = 0
6564eqcomi 2744 . . . . 5 0 = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
6763, 66eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
68 0red 11262 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6968leidd 11827 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 0)
7063eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → 0 = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
7169, 70breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
7267, 71jca 511 . 2 (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))))
73 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦𝐶
74 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
75 csbeq1a 3922 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
7673, 74, 75cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)
7776a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))
7877oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)))
7978fveq2d 6911 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))))
80 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
81 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
82 isidom 20742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
8337, 82sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
8483simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8539ply1crng 22216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
8742crngmgp 20259 . . . . . . . . . . 11 ((Poly1𝑅) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
9089adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
91 deg1gprod.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9291ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑁 ∈ Fin)
93 simplrl 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑏𝑁)
9492, 93ssfid 9299 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑏 ∈ Fin)
9593sselda 3995 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦𝑁)
96 deg1gprod.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
97 r19.26 3109 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) ↔ (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
9897biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
10099simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
101100ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
102 rspcsbela 4444 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
10395, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
104 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
10542, 104mgpbas 20158 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
106103, 105eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
107 eldifi 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑁𝑏) → 𝑐𝑁)
108107adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)) → 𝑐𝑁)
109108adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐𝑁)
110109adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐𝑁)
111 eldifn 4142 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑁𝑏) → ¬ 𝑐𝑏)
112111adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)) → ¬ 𝑐𝑏)
113112adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ¬ 𝑐𝑏)
114113adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ¬ 𝑐𝑏)
115100ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
116 rspcsbela 4444 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
117110, 115, 116syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
118117, 105eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
119 csbeq1 3911 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑐 / 𝑥𝐶)
12080, 81, 90, 94, 106, 110, 114, 118, 119gsumunsn 19993 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)) = (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶))
121120fveq2d 6911 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))) = ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)))
122 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (.r‘(Poly1𝑅)) = (.r‘(Poly1𝑅))
12342, 122mgpplusg 20156 . . . . . . . . 9 (.r‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
124123eqcomi 2744 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.r‘(Poly1𝑅))
125 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
12653adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑅 ∈ Domn)
127126adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑅 ∈ Domn)
128103ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑦𝑏 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
129105, 90, 94, 128gsummptcl 20000 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
13039ply1idom 26179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
13137, 130syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
132131adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
133132adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
13499simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
135134ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
136 rspcsbnea 42113 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
13795, 135, 136syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
13842, 133, 94, 103, 137idomnnzgmulnz 42115 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
139134ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
140 rspcsbnea 42113 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
141110, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
14259, 39, 104, 124, 125, 127, 129, 138, 117, 141deg1mul 26169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)) = (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
14373, 74, 75cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑏𝐶) = (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)
144143eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑏𝐶)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑏𝐶))
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))
147146fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))
148147oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
149 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
150149adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
151150oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
152 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)))
153 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))
15491adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑁 ∈ Fin)
155 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑏𝑁)
156154, 155ssfid 9299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑏 ∈ Fin)
15773, 74, 75cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑁𝐶) = (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)
158157fveq1i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛) = ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛) = ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛))
160159fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)))
161 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶))
162 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑛) → 𝑦 = 𝑛)
163162csbeq1d 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑛) → 𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑛 / 𝑥𝐶)
164155sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛𝑁)
165100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
167 rspcsbela 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
168164, 166, 167syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
169161, 163, 164, 168fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛) = 𝑛 / 𝑥𝐶)
170169fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶))
17138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑅 ∈ Ring)
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑅 ∈ Ring)
173134ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
174 rspcsbnea 42113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
175164, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
17659, 39, 125, 104deg1nn0cl 26142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
177172, 168, 175, 176syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
178170, 177eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)) ∈ ℕ0)
179160, 178eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∈ ℕ0)
180179nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∈ ℂ)
181 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑐 → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)))
182109, 165, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
183 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑁𝐶) = (𝑥𝑁𝐶)
184183fvmpts 7019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑁𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
185109, 182, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
186185fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) = ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶))
187108, 134, 140syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
18859, 39, 125, 104deg1nn0cl 26142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
189171, 182, 187, 188syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
190186, 189eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) ∈ ℕ0)
191190nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) ∈ ℂ)
192152, 153, 156, 109, 113, 180, 181, 191fsumsplitsn 15777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))))
193192adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))))
194185adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
195194fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) = ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶))
196195oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
197193, 196eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
198197eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
199151, 198eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
200148, 199eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
201142, 200eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
202121, 201eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
20379, 202eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
204171adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑅 ∈ Ring)
205110snssd 4814 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → {𝑐} ⊆ 𝑁)
20693, 205unssd 4202 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁)
20792, 206ssfid 9299 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
208165adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
209 ssralv 4064 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁 → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))))
210206, 209syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))))
211208, 210mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
212105, 90, 207, 211gsummptcl 20000 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
21376oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))
214213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)))
215109snssd 4814 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → {𝑐} ⊆ 𝑁)
216155, 215unssd 4202 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁)
217154, 216ssfid 9299 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
218216sselda 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦𝑁)
219165adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
220218, 219, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
221134ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
222218, 221, 136syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
22342, 132, 217, 220, 222idomnnzgmulnz 42115 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
224214, 223eqnetrd 3006 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
225224adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
22659, 39, 125, 104deg1nn0cl 26142 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) ∈ ℕ0)
227204, 212, 225, 226syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) ∈ ℕ0)
228227nn0ge0d 12588 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))
229203, 228jca 511 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))))
230229ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))))
2317, 14, 21, 28, 72, 230, 91findcard2d 9205 1 (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  0cn0 12524  Σcsu 15719  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  algSccascl 21890  Poly1cpl1 22194  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  42152
  Copyright terms: Public domain W3C validator