Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1gprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1gprod 42142
Description: Degree multiplication is a homomorphism. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1gprod.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
deg1gprod.2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
deg1gprod.3 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
Assertion
Ref Expression
deg1gprod (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝑁,𝑥   𝑅,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem deg1gprod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5234 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
21oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
32fveq2d 6909 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
4 sumeq1 15726 . . . 4 (𝑎 = ∅ → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
53, 4eqeq12d 2752 . . 3 (𝑎 = ∅ → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
63breq2d 5154 . . 3 (𝑎 = ∅ → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))))
75, 6anbi12d 632 . 2 (𝑎 = ∅ → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))))
8 mpteq1 5234 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥𝑏𝐶))
98oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))
109fveq2d 6909 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))
11 sumeq1 15726 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
1310breq2d 5154 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))))
1412, 13anbi12d 632 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))))
15 mpteq1 5234 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))
1615oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))
1716fveq2d 6909 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))
18 sumeq1 15726 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
1917, 18eqeq12d 2752 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
2017breq2d 5154 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))))
2119, 20anbi12d 632 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))))
22 mpteq1 5234 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑥𝑎𝐶) = (𝑥𝑁𝐶))
2322oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))
2423fveq2d 6909 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))))
25 sumeq1 15726 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
2624, 25eqeq12d 2752 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ↔ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))))
2724breq2d 5154 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) ↔ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
2826, 27anbi12d 632 . 2 (𝑎 = 𝑁 → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶))) = Σ𝑛𝑎 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑎𝐶)))) ↔ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))))))
29 mpt0 6709 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅)
3130oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅))
32 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
3332gsum0 18698 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
3531, 34eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
3635fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))))
37 deg1gprod.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3837idomringd 20729 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
39 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
40 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Poly1𝑅)) = (1r‘(Poly1𝑅))
4442, 43ringidval 20181 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
4544eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (1r‘(Poly1𝑅))
4639, 40, 41, 45ply1scl1 22297 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
4738, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
4847eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅)))
4948fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))) = ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))))
50 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5150, 41ringidcl 20263 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5238, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5337idomdomd 20727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
54 domnnzr 20707 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
56 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5741, 56nzrnz 20516 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
59 eqid 2736 . . . . . . . 8 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
6059, 39, 50, 40, 56deg1scl 26153 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))) = 0)
6138, 52, 58, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(1r𝑅))) = 0)
6249, 61eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(0g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))) = 0)
6336, 62eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = 0)
64 sum0 15758 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = 0
6564eqcomi 2745 . . . . 5 0 = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛))
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
6763, 66eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
68 0red 11265 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6968leidd 11830 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 0)
7063eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → 0 = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
7169, 70breqtrd 5168 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))))
7267, 71jca 511 . 2 (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))))
73 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑦𝐶
74 nfcsb1v 3922 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
75 csbeq1a 3912 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
7673, 74, 75cbvmpt 5252 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)
7776a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))
7877oveq2d 7448 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)))
7978fveq2d 6909 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))))
80 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
81 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
82 isidom 20726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
8337, 82sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
8483simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8539ply1crng 22201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
8742crngmgp 20239 . . . . . . . . . . 11 ((Poly1𝑅) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
9089adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ CMnd)
91 deg1gprod.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9291ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑁 ∈ Fin)
93 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑏𝑁)
9492, 93ssfid 9302 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑏 ∈ Fin)
9593sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦𝑁)
96 deg1gprod.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
97 r19.26 3110 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) ↔ (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
9897biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑁 (𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))))
10099simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
101100ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
102 rspcsbela 4437 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
10395, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
104 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
10542, 104mgpbas 20143 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
106103, 105eleqtrdi 2850 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
107 eldifi 4130 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑁𝑏) → 𝑐𝑁)
108107adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)) → 𝑐𝑁)
109108adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐𝑁)
110109adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐𝑁)
111 eldifn 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑁𝑏) → ¬ 𝑐𝑏)
112111adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)) → ¬ 𝑐𝑏)
113112adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ¬ 𝑐𝑏)
114113adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ¬ 𝑐𝑏)
115100ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
116 rspcsbela 4437 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
117110, 115, 116syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
118117, 105eleqtrdi 2850 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))))
119 csbeq1 3901 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑐 / 𝑥𝐶)
12080, 81, 90, 94, 106, 110, 114, 118, 119gsumunsn 19979 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)) = (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶))
121120fveq2d 6909 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))) = ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)))
122 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.r‘(Poly1𝑅)) = (.r‘(Poly1𝑅))
12342, 122mgpplusg 20142 . . . . . . . . 9 (.r‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
124123eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.r‘(Poly1𝑅))
125 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
12653adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑅 ∈ Domn)
127126adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑅 ∈ Domn)
128103ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑦𝑏 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
129105, 90, 94, 128gsummptcl 19986 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
13039ply1idom 26165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
13137, 130syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
132131adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
133132adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Poly1𝑅) ∈ IDomn)
13499simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
135134ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
136 rspcsbnea 42133 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
13795, 135, 136syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
13842, 133, 94, 103, 137idomnnzgmulnz 42135 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
139134ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
140 rspcsbnea 42133 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
141110, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
14259, 39, 104, 124, 125, 127, 129, 138, 117, 141deg1mul 26155 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)) = (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
14373, 74, 75cbvmpt 5252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑏𝐶) = (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)
144143eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑏𝐶)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑏𝐶))
146145oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))
147146fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))
148147oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
149 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
150149adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
151150oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
152 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏)))
153 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))
15491adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑁 ∈ Fin)
155 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑏𝑁)
156154, 155ssfid 9302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑏 ∈ Fin)
15773, 74, 75cbvmpt 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑁𝐶) = (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)
158157fveq1i 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛) = ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛) = ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛))
160159fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)))
161 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶))
162 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑛) → 𝑦 = 𝑛)
163162csbeq1d 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑛) → 𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑛 / 𝑥𝐶)
164155sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛𝑁)
165100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
167 rspcsbela 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
168164, 166, 167syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
169161, 163, 164, 168fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛) = 𝑛 / 𝑥𝐶)
170169fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶))
17138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑅 ∈ Ring)
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑅 ∈ Ring)
173134ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
174 rspcsbnea 42133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
175164, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
17659, 39, 125, 104deg1nn0cl 26128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑛 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
177172, 168, 175, 176syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘𝑛 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
178170, 177eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑦𝑁𝑦 / 𝑥𝐶)‘𝑛)) ∈ ℕ0)
179160, 178eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∈ ℕ0)
180179nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑛𝑏) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∈ ℂ)
181 2fveq3 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑐 → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)))
182109, 165, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
183 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑁𝐶) = (𝑥𝑁𝐶)
184183fvmpts 7018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑁𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
185109, 182, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
186185fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) = ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶))
187108, 134, 140syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
18859, 39, 125, 104deg1nn0cl 26128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑐 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
189171, 182, 187, 188syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶) ∈ ℕ0)
190186, 189eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) ∈ ℕ0)
191190nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) ∈ ℂ)
192152, 153, 156, 109, 113, 180, 181, 191fsumsplitsn 15781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))))
193192adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))))
194185adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐) = 𝑐 / 𝑥𝐶)
195194fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐)) = ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶))
196195oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑐))) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
197193, 196eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) = (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)))
198197eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
199151, 198eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
200148, 199eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))) + ((deg1𝑅)‘𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
201142, 200eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘(((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦𝑏𝑦 / 𝑥𝐶))(+g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))𝑐 / 𝑥𝐶)) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
202121, 201eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
20379, 202eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)))
204171adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 𝑅 ∈ Ring)
205110snssd 4808 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → {𝑐} ⊆ 𝑁)
20693, 205unssd 4191 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁)
20792, 206ssfid 9302 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
208165adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
209 ssralv 4051 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁 → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))))
210206, 209syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))))
211208, 210mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ∀𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
212105, 90, 207, 211gsummptcl 19986 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
21376oveq2i 7443 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶))
214213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) = ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)))
215109snssd 4808 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → {𝑐} ⊆ 𝑁)
216155, 215unssd 4191 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝑁)
217154, 216ssfid 9302 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
218216sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦𝑁)
219165adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
220218, 219, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
221134ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ∀𝑥𝑁 𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
222218, 221, 136syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
22342, 132, 217, 220, 222idomnnzgmulnz 42135 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
224214, 223eqnetrd 3007 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
225224adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
22659, 39, 125, 104deg1nn0cl 26128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) ∈ ℕ0)
227204, 212, 225, 226syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) ∈ ℕ0)
228227nn0ge0d 12592 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))
229203, 228jca 511 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) ∧ (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶)))))
230229ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑁𝑐 ∈ (𝑁𝑏))) → ((((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶))) = Σ𝑛𝑏 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑏𝐶)))) → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))) = Σ𝑛 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↦ 𝐶))))))
2317, 14, 21, 28, 72, 230, 91findcard2d 9207 1 (𝜑 → (((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶))) = Σ𝑛𝑁 ((deg1𝑅)‘((𝑥𝑁𝐶)‘𝑛)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝑅)‘((mulGrp‘(Poly1𝑅)) Σg (𝑥𝑁𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  csb 3898  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  0cc0 11156   + caddc 11159  cle 11297  0cn0 12528  Σcsu 15723  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  NzRingcnzr 20513  Domncdomn 20693  IDomncidom 20694  algSccascl 21873  Poly1cpl1 22179  deg1cdg1 26094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096
This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  42172
  Copyright terms: Public domain W3C validator